数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とするとき、$S_n = n^2 - 22n + 3$ ($n = 1, 2, 3, \dots$) が成り立つ。このとき、数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求め、さらに $a_n > 0$ となる自然数 $n$ の範囲と、 $30 \sum_{k=1}^{30} |a_k| - S_{30}$ の値を求める。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とするとき、$S_n = n^2 - 22n + 3$ ($n = 1, 2, 3, \dots$) が成り立つ。このとき、数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求め、さらに $a_n > 0$ となる自然数 $n$ の範囲と、 $30 \sum_{k=1}^{30} |a_k| - S_{30}$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $n \ge 2$ のとき、$a_n = S_n - S_{n-1}$ である。なぜなら、$S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_{n-1} + a_n$ であり、$S_{n-1} = a_1 + a_2 + \dots + a_{n-1}$ であるから、$S_n = S_{n-1} + a_n$ となり、$a_n = S_n - S_{n-1}$ となる。

アには $S_{n-1}$ が入る。

(2) $S_n = n^2 - 22n + 3$ より、

$S_{n-1} = (n-1)^2 - 22(n-1) + 3 = n^2 - 2n + 1 - 22n + 22 + 3 = n^2 - 24n + 26$

したがって、$a_n = S_n - S_{n-1} = (n^2 - 22n + 3) - (n^2 - 24n + 26) = 2n - 23$

イには2、ウエには23が入る。

(3) $a_1$ は $S_1$ に等しいので、$a_1 = S_1 = 1^2 - 22(1) + 3 = 1 - 22 + 3 = -18$

カキクには-18が入る。

(4) $a_n > 0$ となるのは $2n - 23 > 0$ つまり $2n > 23$, $n > \frac{23}{2} = 11.5$ より、$n \ge 12$ のときである。ケコには12が入る。

(5) $\sum_{k=1}^{30} |a_k| = |a_1| + |a_2| + \dots + |a_{11}| + a_{12} + \dots + a_{30}$

$a_n = 2n - 23$ より、$a_{11} = 2(11) - 23 = -1$ であり、$a_{12} = 2(12) - 23 = 1$

$\sum_{k=1}^{11} |a_k| = \sum_{k=1}^{11} |2k - 23| = \sum_{k=1}^{11} (23 - 2k) = 23(11) - 2 \sum_{k=1}^{11} k = 253 - 2 \cdot \frac{11 \cdot 12}{2} = 253 - 132 = 121$

$\sum_{k=12}^{30} a_k = \sum_{k=12}^{30} (2k - 23) = 2 \sum_{k=12}^{30} k - 23(19) = 2 \cdot (\sum_{k=1}^{30} k - \sum_{k=1}^{11} k) - 437 = 2 \cdot (\frac{30 \cdot 31}{2} - \frac{11 \cdot 12}{2}) - 437 = 2 \cdot (465 - 66) - 437 = 2 \cdot 399 - 437 = 798 - 437 = 361$

$\sum_{k=1}^{30} |a_k| = 121 + 361 = 482$

$30 \sum_{k=1}^{30} |a_k| = 30 \cdot 482 = 14460$

$S_{30} = 30^2 - 22(30) + 3 = 900 - 660 + 3 = 243$

$30 \sum_{k=1}^{30} |a_k| - S_{30} = 14460 - 243 = 14217$

サシスには14217が入る。

オには、$a_1 = S_1$ が入る。

3. 最終的な答え

ア：$S_{n-1}$

イ：2

ウエ：23

オ：$a_1 = S_1$

カキク：-18

ケコ：12

サシス：14217