オイラーの公式を用いて、$\cos(\alpha + \beta + \gamma)$ と $\sin(\alpha + \beta + \gamma)$ の加法定理を求める。

1. 問題の内容

オイラーの公式を用いて、$\cos(\alpha + \beta + \gamma)$ と $\sin(\alpha + \beta + \gamma)$ の加法定理を求める。

2. 解き方の手順

まず、オイラーの公式は以下のように表されます。

$e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x)$

これを用いると、

$e^{i(\alpha + \beta + \gamma)} = \cos(\alpha + \beta + \gamma) + i\sin(\alpha + \beta + \gamma)$

一方、

$e^{i(\alpha + \beta + \gamma)} = e^{i\alpha}e^{i\beta}e^{i\gamma} = (\cos\alpha + i\sin\alpha)(\cos\beta + i\sin\beta)(\cos\gamma + i\sin\gamma)$

上記の式を展開します。

$(\cos\alpha + i\sin\alpha)(\cos\beta + i\sin\beta) = \cos\alpha\cos\beta + i\cos\alpha\sin\beta + i\sin\alpha\cos\beta + i^2\sin\alpha\sin\beta = (\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta) + i(\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta)$

さらに、

$[(\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta) + i(\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta)](\cos\gamma + i\sin\gamma) = (\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta)\cos\gamma + i(\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta)\sin\gamma + i(\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta)\cos\gamma + i^2(\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta)\sin\gamma$

$= (\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma - \sin\alpha\sin\beta\cos\gamma - \sin\alpha\cos\beta\sin\gamma - \cos\alpha\sin\beta\sin\gamma) + i(\cos\alpha\cos\beta\sin\gamma - \sin\alpha\sin\beta\sin\gamma + \sin\alpha\cos\beta\cos\gamma + \cos\alpha\sin\beta\cos\gamma)$

したがって、

$\cos(\alpha + \beta + \gamma) = \cos\alpha\cos\beta\cos\gamma - \sin\alpha\sin\beta\cos\gamma - \sin\alpha\cos\beta\sin\gamma - \cos\alpha\sin\beta\sin\gamma$

$\sin(\alpha + \beta + \gamma) = \cos\alpha\cos\beta\sin\gamma + \cos\alpha\sin\beta\cos\gamma + \sin\alpha\cos\beta\cos\gamma - \sin\alpha\sin\beta\sin\gamma$

3. 最終的な答え

$\cos(\alpha + \beta + \gamma) = \cos\alpha\cos\beta\cos\gamma - \sin\alpha\sin\beta\cos\gamma - \sin\alpha\cos\beta\sin\gamma - \cos\alpha\sin\beta\sin\gamma$

$\sin(\alpha + \beta + \gamma) = \sin\alpha\cos\beta\cos\gamma + \cos\alpha\sin\beta\cos\gamma + \cos\alpha\cos\beta\sin\gamma - \sin\alpha\sin\beta\sin\gamma$