以下の4つの不定積分を計算します。 (1) $\int \sin(4x + 3) dx$ (2) $\int \cos(5x - 2) dx$ (3) $\int \sin(\frac{x}{2}) dx$ (4) $\int 8\cos(\frac{8x+5}{3}) dx$

1. 問題の内容

以下の4つの不定積分を計算します。

(1) $\int \sin(4x + 3) dx$

(2) $\int \cos(5x - 2) dx$

(3) $\int \sin(\frac{x}{2}) dx$

(4) $\int 8\cos(\frac{8x+5}{3}) dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int \sin(4x + 3) dx$

$u = 4x + 3$ と置換すると、$du = 4 dx$ より $dx = \frac{1}{4} du$。

よって、

$\int \sin(4x + 3) dx = \int \sin(u) \frac{1}{4} du = \frac{1}{4} \int \sin(u) du = \frac{1}{4} (-\cos(u)) + C = -\frac{1}{4} \cos(4x + 3) + C$

(2) $\int \cos(5x - 2) dx$

$u = 5x - 2$ と置換すると、$du = 5 dx$ より $dx = \frac{1}{5} du$。

よって、

$\int \cos(5x - 2) dx = \int \cos(u) \frac{1}{5} du = \frac{1}{5} \int \cos(u) du = \frac{1}{5} \sin(u) + C = \frac{1}{5} \sin(5x - 2) + C$

(3) $\int \sin(\frac{x}{2}) dx$

$u = \frac{x}{2}$ と置換すると、$du = \frac{1}{2} dx$ より $dx = 2 du$。

よって、

$\int \sin(\frac{x}{2}) dx = \int \sin(u) 2 du = 2 \int \sin(u) du = 2(-\cos(u)) + C = -2\cos(\frac{x}{2}) + C$

(4) $\int 8\cos(\frac{8x+5}{3}) dx$

$u = \frac{8x+5}{3}$ と置換すると、$du = \frac{8}{3} dx$ より $dx = \frac{3}{8} du$。

よって、

$\int 8\cos(\frac{8x+5}{3}) dx = \int 8\cos(u) \frac{3}{8} du = 3 \int \cos(u) du = 3\sin(u) + C = 3\sin(\frac{8x+5}{3}) + C$

3. 最終的な答え

(1) $-\frac{1}{4} \cos(4x + 3) + C$

(2) $\frac{1}{5} \sin(5x - 2) + C$

(3) $-2\cos(\frac{x}{2}) + C$

(4) $3\sin(\frac{8x+5}{3}) + C$