与えられた関数の値について、一次近似式を用いて近似値を求めます。 (1) $\ln 1.2$ (2) $\tan 0.3$ (3) $\sqrt[3]{30}$

1. 問題の内容

与えられた関数の値について、一次近似式を用いて近似値を求めます。

(1) $\ln 1.2$

(2) $\tan 0.3$

(3) $\sqrt[3]{30}$

2. 解き方の手順

一次近似式は、ある点 $a$ の近くで関数 $f(x)$ を線形関数で近似するものです。

$f(x) \approx f(a) + f'(a)(x-a)$

(1) $f(x) = \ln x$ の場合:

$f'(x) = \frac{1}{x}$

$a=1$ とすると、$f(1) = \ln 1 = 0$、$f'(1) = \frac{1}{1} = 1$

$\ln x \approx 0 + 1(x-1) = x-1$

したがって、$\ln 1.2 \approx 1.2 - 1 = 0.2$

(2) $f(x) = \tan x$ の場合:

$f'(x) = \frac{1}{\cos^2 x}$

$a=0$ とすると、$f(0) = \tan 0 = 0$、$f'(0) = \frac{1}{\cos^2 0} = \frac{1}{1} = 1$

$\tan x \approx 0 + 1(x-0) = x$

したがって、$\tan 0.3 \approx 0.3$

(3) $f(x) = \sqrt[3]{x}$ の場合:

$f'(x) = \frac{1}{3} x^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{3 \sqrt[3]{x^2}}$

$a=27$ とすると、$f(27) = \sqrt[3]{27} = 3$、$f'(27) = \frac{1}{3 \sqrt[3]{27^2}} = \frac{1}{3 \times 9} = \frac{1}{27}$

$\sqrt[3]{x} \approx 3 + \frac{1}{27}(x-27)$

したがって、$\sqrt[3]{30} \approx 3 + \frac{1}{27}(30-27) = 3 + \frac{3}{27} = 3 + \frac{1}{9} = \frac{28}{9} \approx 3.111$

3. 最終的な答え

(1) $\ln 1.2 \approx 0.2$

(2) $\tan 0.3 \approx 0.3$

(3) $\sqrt[3]{30} \approx \frac{28}{9}$