関数 $y = \frac{2x-1}{x-1}$ のグラフを描き、その漸近線の方程式を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{2x-1}{x-1}$ のグラフを描き、その漸近線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

まず、$y = \frac{2x-1}{x-1}$ を変形して、漸近線を見つけやすくする。

分子の $2x-1$ を $x-1$ を用いて表すことを考える。

$2x-1 = 2(x-1) + 1$ と変形できる。

したがって、

$y = \frac{2(x-1) + 1}{x-1} = \frac{2(x-1)}{x-1} + \frac{1}{x-1} = 2 + \frac{1}{x-1}$

と変形できる。

この形から、

(1) $x$ が限りなく大きくなる、または小さくなるにつれて $\frac{1}{x-1}$ は $0$ に近づくので、$y$ は $2$ に近づく。したがって、水平漸近線は $y=2$ である。

(2) $x$ が $1$ に近づくと、$x-1$ は $0$ に近づくので、$\frac{1}{x-1}$ は無限大に発散する。したがって、垂直漸近線は $x=1$ である。

3. 最終的な答え

水平漸近線: $y = 2$

垂直漸近線: $x = 1$

グラフは、双曲線となる。中心は $(1, 2)$ であり、$y = \frac{1}{x}$ のグラフを $x$ 軸方向に $1$, $y$ 軸方向に $2$ だけ平行移動させたものになる。