次の3つの2階線形同次微分方程式の一般解を求める問題です。 (1) $\frac{d^2y}{dt^2} - \frac{dy}{dt} - 2y = 0$ (2) $\frac{d^2y}{dt^2} + 4\frac{dy}{dt} + 4y = 0$ (3) $\frac{d^2y}{dt^2} + 2\frac{dy}{dt} + 3y = 0$

1. 問題の内容

次の3つの2階線形同次微分方程式の一般解を求める問題です。

(1) $\frac{d^2y}{dt^2} - \frac{dy}{dt} - 2y = 0$

(2) $\frac{d^2y}{dt^2} + 4\frac{dy}{dt} + 4y = 0$

(3) $\frac{d^2y}{dt^2} + 2\frac{dy}{dt} + 3y = 0$

2. 解き方の手順

これらの微分方程式は定数係数線形同次微分方程式なので、特性方程式を解くことで一般解を求めることができます。

(1) $\frac{d^2y}{dt^2} - \frac{dy}{dt} - 2y = 0$

特性方程式は $r^2 - r - 2 = 0$ となります。

これを解くと、$(r-2)(r+1) = 0$ より、 $r = 2, -1$ が得られます。

したがって、一般解は $y(t) = C_1e^{2t} + C_2e^{-t}$ となります。

(2) $\frac{d^2y}{dt^2} + 4\frac{dy}{dt} + 4y = 0$

特性方程式は $r^2 + 4r + 4 = 0$ となります。

これを解くと、$(r+2)^2 = 0$ より、 $r = -2$ (重解) が得られます。

したがって、一般解は $y(t) = (C_1 + C_2t)e^{-2t}$ となります。

(3) $\frac{d^2y}{dt^2} + 2\frac{dy}{dt} + 3y = 0$

特性方程式は $r^2 + 2r + 3 = 0$ となります。

これを解くと、$r = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 12}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{-8}}{2} = -1 \pm i\sqrt{2}$ が得られます。

したがって、一般解は $y(t) = e^{-t}(C_1\cos(\sqrt{2}t) + C_2\sin(\sqrt{2}t))$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $y(t) = C_1e^{2t} + C_2e^{-t}$

(2) $y(t) = (C_1 + C_2t)e^{-2t}$

(3) $y(t) = e^{-t}(C_1\cos(\sqrt{2}t) + C_2\sin(\sqrt{2}t))$