$\lim_{x \to 3} (\sqrt{3x+a} - \frac{b}{x} - 3) = \frac{3}{8}$ を満たす $a$ と $b$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 3} (\sqrt{3x+a} - \frac{b}{x} - 3) = \frac{3}{8}$ を満たす $a$ と $b$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x \to 3$ のとき、$\sqrt{3x+a} - \frac{b}{x} - 3$ は $\frac{3}{8}$ に収束するので、この極限が存在するためには、$\sqrt{3x+a} - \frac{b}{x} - 3$ は不定形にならないといけません。

$x = 3$ を代入すると、$\sqrt{9+a} - \frac{b}{3} - 3$ となります。

$x \to 3$のとき、$\sqrt{3x+a} - \frac{b}{x} - 3 \to \frac{3}{8}$ になるので、

$\sqrt{3x+a}-\frac{b}{x}-3$は $x=3$ で定義されている必要があります。

$x=3$ を代入すると、

$\sqrt{9+a} - \frac{b}{3} - 3 = \frac{3}{8}$

また、$x \to 3$の時、$\sqrt{3x+a} - \frac{b}{x} - 3 \to \frac{3}{8}$　になるので、$x = 3$の時に分子が0になる必要があると考えられます。

もし $\lim_{x \to 3} (\sqrt{3x+a} - \frac{b}{x} - 3) = \frac{3}{8}$ が存在するためには、$\lim_{x \to 3} (\sqrt{3x+a} - \frac{b}{x}) = 3$ である必要があります。

これにより、$\sqrt{9+a} - \frac{b}{3} = 3$ となります。

与えられた式を $\sqrt{3x+a} - \frac{b}{x} - 3 = \frac{3}{8}$ とすると、$\sqrt{9+a} - \frac{b}{3} - 3 = \frac{3}{8}$ となります。

$\sqrt{9+a} - \frac{b}{3} = \frac{27}{8}$ となります。

しかし、$\sqrt{9+a} - \frac{b}{3} = 3$ なので、$3 = \frac{27}{8}$ となり矛盾します。

したがって、$x=3$の時に不定形になる必要があります。

$\lim_{x \to 3} (\sqrt{3x+a} - \frac{b}{x} - 3) = \frac{3}{8}$ であるためには、$x \to 3$の時に、$\sqrt{3x+a} - \frac{b}{x} - 3$ が $\frac{0}{0}$ の不定形になる必要があると考えられます。

つまり、$\lim_{x \to 3} \sqrt{3x+a} - \frac{b}{x} - 3 = 0$ となる必要があります。

よって、$\sqrt{9+a} - \frac{b}{3} - 3 = 0$ となります。

$\sqrt{9+a} = \frac{b}{3} + 3$

$9+a = (\frac{b}{3} + 3)^2 = \frac{b^2}{9} + 2b + 9$

$a = \frac{b^2}{9} + 2b$

$\lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{3x+a} - \frac{b}{x} - 3}{x-3} = \frac{3}{8}$

$\sqrt{3x+a} - \frac{b}{x} - 3$ に $x=3$を代入すると0になるので、ロピタルの定理を使うことができます。

$\lim_{x \to 3} \frac{\frac{3}{2\sqrt{3x+a}} + \frac{b}{x^2}}{1} = \frac{3}{8}$

$\frac{3}{2\sqrt{9+a}} + \frac{b}{9} = \frac{3}{8}$

$\frac{3}{2(\frac{b}{3} + 3)} + \frac{b}{9} = \frac{3}{8}$

$\frac{9}{2(b+9)} + \frac{b}{9} = \frac{3}{8}$

$\frac{9}{2b+18} + \frac{b}{9} = \frac{3}{8}$

$9(\frac{9}{2b+18} + \frac{b}{9}) = 9(\frac{3}{8})$

$\frac{81}{2b+18} + b = \frac{27}{8}$

$81 \times 8 + 8b(b+9) = 27(2b+18)$

$648 + 8b^2 + 72b = 54b + 486$

$8b^2 + 18b + 162 = 0$

$4b^2 + 9b + 81 = 0$

$9+a = (\frac{b}{3}+3)^2$, $\frac{3}{2\sqrt{9+a}} + \frac{b}{9} = \frac{3}{8}$　の式からa, bを求める。

$\sqrt{9+a} = \frac{3}{8} - \frac{b}{9}$, $9+a = (\frac{3}{8} - \frac{b}{9})^2$.

$(\frac{b}{3}+3) = \frac{3}{8} + \frac{b}{9} = (\frac{3}{24} - \frac{b}{9})$

$\sqrt{9+a} = \frac{b}{3} + 3$ より、$9+a = (\frac{b}{3} + 3)^2 = \frac{b^2}{9} + 2b + 9$ よって、$a = \frac{b^2}{9} + 2b$

$\frac{3}{2\sqrt{9+a}} + \frac{b}{9} = \frac{3}{8}$ より、$\frac{3}{2(\frac{b}{3}+3)} + \frac{b}{9} = \frac{3}{8}$

$\frac{9}{2(b+9)} + \frac{b}{9} = \frac{3}{8}$

$\frac{81}{18+2b} + \frac{b}{9} = \frac{3}{8}$

$81(8) + (18+2b)\frac{b}{9}(8) = 3(18+2b)$

$648 + (2+2b/9)(8b) = 54 + 6b$

$648 + 16b + \frac{16b^2}{9} = 54 + 6b$

$594 + 10b + \frac{16b^2}{9} = 0$

$5346 + 90b + 16b^2 = 0$

$16b^2 + 90b + 5346 = 0$

$a=0$, $b=0$の時、与式は$\frac{3}{2*3}+0= \frac{1}{2}$ になり違う。

x = 3のとき、$\sqrt{9+a} - \frac{b}{3}-3 =0$ という条件を間違えていた。

この条件はロピタルの定理を使う条件。ロピタルの定理を使って出てくる式が$\frac{3}{2\sqrt{3x+a}} + \frac{b}{x^2} = \frac{3}{8}$ に $x=3$を代入して得られる$\frac{3}{2\sqrt{9+a}} + \frac{b}{9} = \frac{3}{8}$ を使う。

正しいやり方

$\sqrt{3x+a} - \frac{b}{x} = (\sqrt{3x+a} - \sqrt{9+a}) - (\frac{b}{x} - \frac{b}{3}) + (\sqrt{9+a} - \frac{b}{3})$

$\lim_{x \to 3} (\sqrt{3x+a} - \frac{b}{x} - 3) = \frac{3}{8}$

$\lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{3x+a} - \frac{b}{x} - 3}{x-3} = \frac{3}{8}$

ロピタルの定理より、$\frac{\frac{3}{2 \sqrt{3x+a}} + \frac{b}{x^2}}{1} = \frac{3}{8}$

$\frac{3}{2 \sqrt{9+a}} + \frac{b}{9} = \frac{3}{8}$

元の式において、$x = 3$のとき$\frac{0}{0}$の形になるには、

$\sqrt{9+a} - \frac{b}{3} - 3 = 0$, $\sqrt{9+a} = \frac{b}{3} + 3$.

$\frac{3}{2(\frac{b}{3}+3)} + \frac{b}{9} = \frac{3}{8}$

$\frac{9}{2(b+9)} + \frac{b}{9} = \frac{3}{8}$

$729 + 2bx + 162 + + 16x^2b=0$

これを解くと、$16b^2+90b-5832$

上記が$0$.

3. 最終的な答え

a,bは存在しない。

問題文に誤りがある。