与えられた関数 $e^x \sin x$ を積分しなさい。

承知いたしました。画像の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

与えられた関数 $e^x \sin x$ を積分しなさい。

2. 解き方の手順

部分積分を2回行います。

1回目: $u = \sin x$, $dv = e^x dx$ とすると、$du = \cos x dx$, $v = e^x$ となります。

したがって、

$$\int e^x \sin x dx = e^x \sin x - \int e^x \cos x dx$$

2回目: $\int e^x \cos x dx$ を部分積分で計算します。$u = \cos x$, $dv = e^x dx$ とすると、$du = -\sin x dx$, $v = e^x$ となります。

したがって、

$$\int e^x \cos x dx = e^x \cos x + \int e^x \sin x dx$$

これらを組み合わせると、

$$\int e^x \sin x dx = e^x \sin x - (e^x \cos x + \int e^x \sin x dx)$$

$$\int e^x \sin x dx = e^x \sin x - e^x \cos x - \int e^x \sin x dx$$

両辺に $\int e^x \sin x dx$ を足すと、

$$2\int e^x \sin x dx = e^x \sin x - e^x \cos x$$

したがって、

$$\int e^x \sin x dx = \frac{1}{2}e^x (\sin x - \cos x) + C$$

3. 最終的な答え

$\int e^x \sin x dx = \frac{1}{2}e^x (\sin x - \cos x) + C$