$e^x \sin x$ の $x^6$ の項までのマクローリン展開を求める問題です。

1. 問題の内容

$e^x \sin x$ の $x^6$ の項までのマクローリン展開を求める問題です。

2. 解き方の手順

マクローリン展開は、関数 $f(x)$ を $x=0$ の周りでテイラー展開したものであり、次の式で与えられます。

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \frac{f''''(0)}{4!}x^4 + \frac{f'''''(0)}{5!}x^5 + \frac{f''''''(0)}{6!}x^6 + \cdots$

$e^x$ と $\sin x$ のマクローリン展開はそれぞれ次のようになります。

$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^5}{5!} + \frac{x^6}{6!} + \cdots$

$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots$

したがって、$e^x \sin x$ のマクローリン展開は、$e^x$ と $\sin x$ のマクローリン展開を掛け合わせることで得られます。$x^6$の項までを求めるため、$x^6$までの項を計算します。

$e^x \sin x = (1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + \frac{x^5}{120} + \frac{x^6}{720} + \cdots)(x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \cdots)$

$= x + x^2 + (\frac{1}{2} - \frac{1}{6})x^3 + (\frac{1}{6} - \frac{1}{6})x^4 + (\frac{1}{24} + \frac{1}{120})x^5 + (\frac{1}{120} - \frac{1}{720} - \frac{1}{12})x^6 + \cdots$

$= x + x^2 + \frac{1}{3}x^3 + 0x^4 + \frac{6}{120}x^5 + \frac{12-1-60}{720}x^6 + \cdots$

$= x + x^2 + \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{20} - \frac{49x^6}{720} + \cdots$

3. 最終的な答え

$e^x \sin x$ の $x^6$ の項までのマクローリン展開は、次のようになります。

$x + x^2 + \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{20} - \frac{49x^6}{720} + \cdots$