与えられた極限を計算します。 $\lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{\sin^2 x} - \frac{1}{x^2} \right)$

1. 問題の内容

与えられた極限を計算します。

$\lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{\sin^2 x} - \frac{1}{x^2} \right)$

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を一つにまとめます。

$\lim_{x \to 0} \left( \frac{x^2 - \sin^2 x}{x^2 \sin^2 x} \right)$

次に、$\sin x$ のTaylor展開を利用します。$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots$ なので、

$\sin^2 x = \left( x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \dots \right)^2 = x^2 - \frac{x^4}{3} + \frac{2x^6}{45} + \dots$

よって、$x^2 - \sin^2 x = \frac{x^4}{3} - \frac{2x^6}{45} + \dots$

また、$\sin^2 x = (x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \dots)^2 = x^2(1 - \frac{x^2}{6} + \frac{x^4}{120} - \dots)^2 = x^2(1 - \frac{x^2}{3} + \frac{2x^4}{45} - \dots)$なので、$x^2\sin^2 x = x^4(1 - \frac{x^2}{3} + \frac{2x^4}{45} - \dots)$

したがって、

$\lim_{x \to 0} \left( \frac{x^2 - \sin^2 x}{x^2 \sin^2 x} \right) = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^4}{3} - \frac{2x^6}{45} + \dots}{x^4 - \frac{x^6}{3} + \frac{2x^8}{45} - \dots} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{3} - \frac{2x^2}{45} + \dots}{1 - \frac{x^2}{3} + \frac{2x^4}{45} - \dots} = \frac{1/3}{1} = \frac{1}{3}$

または、ロピタルの定理を使用します。

$\lim_{x \to 0} \left( \frac{x^2 - \sin^2 x}{x^2 \sin^2 x} \right)$ の分子分母は$x \to 0$で$0$になるので、ロピタルの定理を使うことができます。

$\lim_{x \to 0} \left( \frac{2x - 2\sin x \cos x}{2x\sin^2 x + x^2(2\sin x \cos x)} \right) = \lim_{x \to 0} \left( \frac{2x - \sin 2x}{2x\sin^2 x + x^2 \sin 2x} \right)$

さらにロピタルの定理を使います。

$\lim_{x \to 0} \left( \frac{2 - 2\cos 2x}{2\sin^2 x + 4x \sin x \cos x + 2x\sin 2x + x^2(2\cos 2x)} \right) = \lim_{x \to 0} \left( \frac{2 - 2\cos 2x}{2\sin^2 x + 4x \sin x \cos x + 2x\sin 2x + 2x^2\cos 2x} \right) = \lim_{x \to 0} \left( \frac{2 - 2\cos 2x}{2\sin^2 x + 2x\sin 2x + 2x^2\cos 2x} \right)$

もう一度ロピタルの定理を適用します。

$\lim_{x \to 0} \left( \frac{4 \sin 2x}{4 \sin x \cos x + 2\sin 2x + 4x\cos 2x + 4x\cos 2x - 4x^2 \sin 2x} \right) = \lim_{x \to 0} \left( \frac{4 \sin 2x}{2\sin 2x + 2\sin 2x + 8x\cos 2x - 4x^2 \sin 2x} \right) = \lim_{x \to 0} \left( \frac{4 \sin 2x}{4\sin 2x + 8x\cos 2x - 4x^2 \sin 2x} \right)$

さらにロピタルの定理を適用します。

$\lim_{x \to 0} \left( \frac{8 \cos 2x}{8 \cos 2x + 8\cos 2x - 16x\sin 2x - 8x \sin 2x - 8x^2 \cos 2x} \right) = \lim_{x \to 0} \left( \frac{8 \cos 2x}{16 \cos 2x - 24x\sin 2x - 8x^2 \cos 2x} \right) = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$

これは間違っています。

$\lim_{x \to 0} \left( \frac{x^2 - \sin^2 x}{x^2 \sin^2 x} \right) = \lim_{x \to 0} \left( \frac{x^2 - (x - x^3/6 + O(x^5))^2}{x^2 (x - x^3/6 + O(x^5))^2} \right) = \lim_{x \to 0} \left( \frac{x^2 - (x^2 - x^4/3 + O(x^6))}{x^2 (x^2 - x^4/3 + O(x^6))} \right) = \lim_{x \to 0} \left( \frac{x^4/3 + O(x^6)}{x^4 - x^6/3 + O(x^8)} \right) = \lim_{x \to 0} \left( \frac{1/3 + O(x^2)}{1 - x^2/3 + O(x^4)} \right) = \frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{3}$