与えられた関数の $x$ が 0 に近づくときの極限を、漸近展開を用いて求める問題です。

## (1) $\lim_{x \to 0} \frac{(1+x)\sin x - x \cos x}{x^2}$

1. 問題の内容

与えられた関数の $x$ が 0 に近づくときの極限を、漸近展開を用いて求める問題です。

2. 解き方の手順

$\sin x$ と $\cos x$ のマクローリン展開を利用します。

$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots$

$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots$

これらを元の式に代入します。

$\lim_{x \to 0} \frac{(1+x)(x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)) - x(1 - \frac{x^2}{2} + O(x^4))}{x^2}$

$\lim_{x \to 0} \frac{x - \frac{x^3}{6} + x^2 - \frac{x^4}{6} - x + \frac{x^3}{2} + O(x^4)}{x^2}$

$\lim_{x \to 0} \frac{x^2 + \frac{1}{3}x^3 + O(x^4)}{x^2}$

$\lim_{x \to 0} (1 + \frac{1}{3}x + O(x^2))$

$\lim_{x \to 0} (1 + \frac{x}{3}) = 1$

3. 最終的な答え

1

## (2) $\lim_{x \to 0} \frac{e^{x^2} - \cos x}{x \sin x}$

1. 問題の内容

与えられた関数の $x$ が 0 に近づくときの極限を、漸近展開を用いて求める問題です。

2. 解き方の手順

$e^{x^2}$, $\cos x$, $\sin x$ のマクローリン展開を利用します。

$e^{x^2} = 1 + x^2 + \frac{x^4}{2!} + \dots$

$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots$

$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \dots$

これらを元の式に代入します。

$\lim_{x \to 0} \frac{(1 + x^2 + \frac{x^4}{2} + \dots) - (1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \dots)}{x(x - \frac{x^3}{6} + \dots)}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{3}{2}x^2 + O(x^4)}{x^2 + O(x^4)}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{3}{2} + O(x^2)}{1 + O(x^2)} = \frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{2}$

## (3) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - xe^x + x^2}{x(\cos x - 1)}$

1. 問題の内容

与えられた関数の $x$ が 0 に近づくときの極限を、漸近展開を用いて求める問題です。

2. 解き方の手順

$\sin x$, $e^x$, $\cos x$ のマクローリン展開を利用します。

$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots$

$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots$

$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots$

これらを元の式に代入します。

$\lim_{x \to 0} \frac{(x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)) - x(1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + O(x^4)) + x^2}{x(1 - \frac{x^2}{2} + O(x^4) - 1)}$

$\lim_{x \to 0} \frac{x - \frac{x^3}{6} - x - x^2 - \frac{x^3}{2} - \frac{x^4}{6} + x^2 + O(x^5)}{x(-\frac{x^2}{2} + O(x^4))}$

$\lim_{x \to 0} \frac{-\frac{2}{3}x^3 + O(x^4)}{-\frac{1}{2}x^3 + O(x^5)}$

$\lim_{x \to 0} \frac{-\frac{2}{3} + O(x)}{-\frac{1}{2} + O(x^2)} = \frac{4}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{4}{3}$

## (4) $\lim_{x \to 0} (\frac{1}{\sin^2 x} - \frac{1}{x^2})$

1. 問題の内容

与えられた関数の $x$ が 0 に近づくときの極限を、漸近展開を用いて求める問題です。

2. 解き方の手順

$\sin x$ のマクローリン展開を利用します。

$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots$

$\lim_{x \to 0} (\frac{1}{\sin^2 x} - \frac{1}{x^2}) = \lim_{x \to 0} \frac{x^2 - \sin^2 x}{x^2 \sin^2 x}$

$\sin^2 x = (x - \frac{x^3}{6} + O(x^5))^2 = x^2 - \frac{x^4}{3} + O(x^6)$

$\lim_{x \to 0} \frac{x^2 - (x^2 - \frac{x^4}{3} + O(x^6))}{x^2(x - \frac{x^3}{6} + O(x^5))^2}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^4}{3} + O(x^6)}{x^2(x^2 - \frac{x^4}{3} + O(x^6))}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^4}{3} + O(x^6)}{x^4 - \frac{x^6}{3} + O(x^8)}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{3} + O(x^2)}{1 - \frac{x^2}{3} + O(x^4)} = \frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{3}$