次の2重積分を計算します。 $\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{\pi-y} \sin(x+y) \, dx \, dy$

1. 問題の内容

次の2重積分を計算します。

$\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{\pi-y} \sin(x+y) \, dx \, dy$

2. 解き方の手順

まず、$x$ に関する積分を行います。

$\int_{0}^{\pi-y} \sin(x+y) \, dx = [-\cos(x+y)]_{0}^{\pi-y} = -\cos(\pi) + \cos(y) = 1 + \cos(y)$

次に、$y$ に関する積分を行います。

$\int_{0}^{\pi} (1 + \cos(y)) \, dy = [y + \sin(y)]_{0}^{\pi} = (\pi + \sin(\pi)) - (0 + \sin(0)) = \pi + 0 - 0 - 0 = \pi$

3. 最終的な答え

$\pi$