与えられた不等式は、$\frac{2-\sqrt{3}}{4} \leq \cos^2{\theta} \leq \frac{1}{4}$ です。この不等式を満たす$\theta$の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた不等式は、$\frac{2-\sqrt{3}}{4} \leq \cos^2{\theta} \leq \frac{1}{4}$ です。この不等式を満たす$\theta$の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの不等号について考えます。

$\frac{2-\sqrt{3}}{4} \leq \cos^2{\theta}$

$\cos^2{\theta} \leq \frac{1}{4}$

2番目の不等式$\cos^2{\theta} \leq \frac{1}{4}$から$\cos{\theta}$の範囲を求めます。

$\cos^2{\theta} \leq \frac{1}{4}$より、

$-\frac{1}{2} \leq \cos{\theta} \leq \frac{1}{2}$

次に、1番目の不等式$\frac{2-\sqrt{3}}{4} \leq \cos^2{\theta}$から$\cos{\theta}$の範囲を求めます。

$\frac{2-\sqrt{3}}{4} \leq \cos^2{\theta}$より、

$\cos{\theta} \leq -\sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{4}}$または$\sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{4}} \leq \cos{\theta}$

$\sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{4}} = \frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}$

$\sqrt{2-\sqrt{3}}$ を簡単にします。$\sqrt{a-b} = \sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b^2}}{2}} - \sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b^2}}{2}}$ の公式を利用します。

$\sqrt{2-\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{2+\sqrt{4-3}}{2}} - \sqrt{\frac{2-\sqrt{4-3}}{2}} = \sqrt{\frac{3}{2}} - \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$

よって、$\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

$\cos{\frac{5\pi}{12}} = \cos{(75^\circ)} = \cos{(45^\circ+30^\circ)} = \cos{45^\circ}\cos{30^\circ} - \sin{45^\circ}\sin{30^\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}\frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

なので、$\sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{4}} = \cos{\frac{5\pi}{12}}$

したがって、$\cos{\theta} \leq -\cos{\frac{5\pi}{12}}$または$\cos{\frac{5\pi}{12}} \leq \cos{\theta}$

$-\frac{1}{2} \leq \cos{\theta} \leq \frac{1}{2}$と$\cos{\theta} \leq -\cos{\frac{5\pi}{12}}$または$\cos{\frac{5\pi}{12}} \leq \cos{\theta}$を考慮して$\theta$の範囲を決定します。

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{3} \leq \theta \leq \frac{2\pi}{3}$

$\frac{5\pi}{12} \leq \theta \leq \frac{7\pi}{12}$

これらをまとめると、$\theta$ の範囲は $[\frac{5\pi}{12}, \frac{7\pi}{12}] \cup [\frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}] \cup [\frac{17\pi}{12}, \frac{19\pi}{12}] \cup [\frac{11\pi}{6}, \frac{13\pi}{6}]$となります。一般解はこれらの範囲に $2n\pi$ を加えたものとなります。

しかし、問題文に$\theta$の範囲が指定されていないため、$\theta$の範囲を決定することができません。

$\frac{5\pi}{12} \leq \theta \leq \frac{\pi}{3}$または$\frac{2\pi}{3} \leq \theta \leq \frac{7\pi}{12}$