関数 $y = \tan(\sin(\log x))$ の導関数を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = \tan(\sin(\log x))$ の導関数を求める。

2. 解き方の手順

合成関数の微分を用いる。

まず、$u = \sin(\log x)$, $v = \log x$ とおく。すると、$y = \tan(u)$, $u = \sin(v)$, $v = \log x$ となる。

それぞれの導関数を求める。

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{\cos^2(u)}$

$\frac{du}{dv} = \cos(v)$

$\frac{dv}{dx} = \frac{1}{x}$

合成関数の微分より、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dv} \cdot \frac{dv}{dx}$

$= \frac{1}{\cos^2(u)} \cdot \cos(v) \cdot \frac{1}{x}$

$= \frac{1}{\cos^2(\sin(\log x))} \cdot \cos(\log x) \cdot \frac{1}{x}$

$= \frac{\cos(\log x)}{x \cos^2(\sin(\log x))}$

ここで、$\frac{1}{\cos^2(x)} = 1 + \tan^2(x)$ を利用すると、

$\frac{dy}{dx} = \frac{\cos(\log x)}{x} (1 + \tan^2(\sin(\log x)))$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{\cos(\log x)}{x \cos^2(\sin(\log x))}$

または、

$\frac{dy}{dx} = \frac{\cos(\log x)}{x} (1 + \tan^2(\sin(\log x)))$