与えられた微分方程式 $y' = \frac{6y}{6x-2y}$ の一般解を求め、初期条件 $x=1$ のとき $y=1$ となる解を、選択肢の中から選びます。

1. 問題の内容

与えられた微分方程式 $y' = \frac{6y}{6x-2y}$ の一般解を求め、初期条件 $x=1$ のとき $y=1$ となる解を、選択肢の中から選びます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた微分方程式を変形します。

$y' = \frac{6y}{6x-2y}$ は同次形微分方程式です。 $y = vx$ とおくと、$y' = v'x + v$ となります。

これらを元の微分方程式に代入すると、

$v'x + v = \frac{6vx}{6x - 2vx} = \frac{6v}{6-2v}$

$v'x = \frac{6v}{6-2v} - v = \frac{6v - 6v + 2v^2}{6-2v} = \frac{2v^2}{6-2v} = \frac{v^2}{3-v}$

$\frac{dv}{dx}x = \frac{v^2}{3-v}$

$\frac{3-v}{v^2}dv = \frac{1}{x}dx$

両辺を積分します。

$\int \frac{3-v}{v^2} dv = \int \frac{3}{v^2} - \frac{1}{v} dv = -\frac{3}{v} - \log|v| + C_1$

$\int \frac{1}{x}dx = \log|x| + C_2$

したがって、

$-\frac{3}{v} - \log|v| = \log|x| + C$ (ここで、$C = C_2 - C_1$)

$v = \frac{y}{x}$ を代入すると、

$-\frac{3x}{y} - \log|\frac{y}{x}| = \log|x| + C$

$-\frac{3x}{y} - \log|y| + \log|x| = \log|x| + C$

$-\frac{3x}{y} - \log|y| = C$

初期条件 $x=1$ のとき $y=1$ を代入すると、

$-\frac{3}{1} - \log|1| = C$

$-3 - 0 = C$

$C = -3$

したがって、

$-\frac{3x}{y} - \log|y| = -3$

$\frac{3x}{y} + \log|y| = 3$

両辺に $-1$ をかけると

$-\frac{3x}{y} - log|y| = -3$

両辺に $-1$をかけると

$\frac{3x}{y} + log|y| = 3$

選択肢に合うように、式を少し変形させる。選択肢は全て $3$ が右辺に来ている。

$3\frac{x}{y} + \log|y| = 3$

よって、4番が正しい。

3. 最終的な答え

4. $3\frac{x}{y} - \log|y| = 3$