(1) $f(x) = \arctan x$ のとき、$(x^2+1)f'(x) = 1$ を示す。 (2) (1)の両辺を $n$ 回微分することにより、$(x^2+1)f^{(n+1)}(x) + 2nxf^{(n)}(x) + n(n-1)f^{(n-1)}(x) = 0$ を示す。 (3) $f^{(2m)}(0) = 0$, $f^{(2m+1)}(0) = (-1)^m (2m)!$ を示す。

1. 問題の内容

(1) $f(x) = \arctan x$ のとき、$(x^2+1)f'(x) = 1$ を示す。

(2) (1)の両辺を $n$ 回微分することにより、$(x^2+1)f^{(n+1)}(x) + 2nxf^{(n)}(x) + n(n-1)f^{(n-1)}(x) = 0$ を示す。

(3) $f^{(2m)}(0) = 0$, $f^{(2m+1)}(0) = (-1)^m (2m)!$ を示す。

2. 解き方の手順

(1)

$f(x) = \arctan x$ なので、$f'(x) = \frac{1}{1+x^2}$ である。

したがって、$(x^2+1)f'(x) = (x^2+1) \cdot \frac{1}{1+x^2} = 1$ が示された。

(2)

(1) の結果 $(x^2+1)f'(x) = 1$ を $n$ 回微分する。

ライプニッツの公式を用いる。ライプニッツの公式とは、関数 $u(x), v(x)$ の積の $n$ 回微分を求める公式であり、

$(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} {}_n C_k u^{(n-k)} v^{(k)}$ で表される。

$(x^2+1)f'(x) = 1$ の左辺を $n$ 回微分すると、

$\sum_{k=0}^{n} {}_n C_k (x^2+1)^{(n-k)} (f'(x))^{(k)} = \sum_{k=0}^{n} {}_n C_k (x^2+1)^{(n-k)} f^{(k+1)}(x)$

$k = 0$ のとき、${}_n C_0 (x^2+1)^{(n)} f^{(1)}(x) = (x^2+1) f^{(n+1)}(x)$

$k = 1$ のとき、${}_n C_1 (x^2+1)^{(n-1)} f^{(2)}(x) = n (2x) f^{(n)}(x) = 2nx f^{(n)}(x)$

$k = 2$ のとき、${}_n C_2 (x^2+1)^{(n-2)} f^{(3)}(x) = \frac{n(n-1)}{2} (2) f^{(n-1)}(x) = n(n-1) f^{(n-1)}(x)$

$k \geq 3$ のとき、$(x^2+1)^{(n-k)} = 0$ となる。

したがって、

$(x^2+1)f^{(n+1)}(x) + 2nxf^{(n)}(x) + n(n-1)f^{(n-1)}(x) = 0$

(3)

(2) で得られた式に $x=0$ を代入すると、

$(0^2+1)f^{(n+1)}(0) + 2n(0)f^{(n)}(0) + n(n-1)f^{(n-1)}(0) = 0$

$f^{(n+1)}(0) + n(n-1)f^{(n-1)}(0) = 0$

$n = 2m$ のとき、$f^{(2m+1)}(0) + 2m(2m-1)f^{(2m-1)}(0) = 0$

$f^{(2m+1)}(0) = -2m(2m-1)f^{(2m-1)}(0)$

$f'(x) = \frac{1}{1+x^2}$ より、$f'(0) = 1$

$f^{(3)}(0) = -2 \cdot 1 \cdot f'(0) = -2!$

$f^{(5)}(0) = -4 \cdot 3 \cdot f^{(3)}(0) = -4 \cdot 3 \cdot (-2!) = 4!$

$f^{(7)}(0) = -6 \cdot 5 \cdot f^{(5)}(0) = -6 \cdot 5 \cdot (4!) = -6!$

一般に、$f^{(2m+1)}(0) = (-1)^m (2m)!$

$n = 2m-1$ のとき、$f^{(2m)}(0) + (2m-1)(2m-2)f^{(2m-2)}(0) = 0$

$f^{(2m)}(0) = -(2m-1)(2m-2)f^{(2m-2)}(0)$

$f(x) = \arctan x$ より、$f(0) = 0$

$f''(0) = -1 \cdot 0 \cdot f(0) = 0$

$f^{(4)}(0) = -3 \cdot 2 \cdot f''(0) = 0$

一般に、$f^{(2m)}(0) = 0$

3. 最終的な答え

(1) $(x^2+1)f'(x) = 1$

(2) $(x^2+1)f^{(n+1)}(x) + 2nxf^{(n)}(x) + n(n-1)f^{(n-1)}(x) = 0$

(3) $f^{(2m)}(0) = 0$, $f^{(2m+1)}(0) = (-1)^m (2m)!$