関数 $y = x \log(1+x)$ のマクローリン級数を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = x \log(1+x)$ のマクローリン級数を求める。

2. 解き方の手順

$\log(1+x)$ のマクローリン級数を求める。これは基本的な級数展開として知られており、次のようになる。

$\log(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots$

この級数は $|x| < 1$ で収束する。

次に、$x \log(1+x)$ のマクローリン級数を求めるために、上記の級数に $x$ を掛ける。

$x \log(1+x) = x \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n} = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{x^{n+1}}{n}$

これは、$x$ の冪を一つ増やす操作に対応する。したがって、

$x \log(1+x) = x^2 - \frac{x^3}{2} + \frac{x^4}{3} - \frac{x^5}{4} + \cdots$

あるいは、総和記号を使って次のように書ける。

$x \log(1+x) = \sum_{n=2}^{\infty} (-1)^{n} \frac{x^{n}}{n-1}$

3. 最終的な答え

$x \log(1+x) = \sum_{n=2}^{\infty} (-1)^{n} \frac{x^{n}}{n-1} = x^2 - \frac{x^3}{2} + \frac{x^4}{3} - \frac{x^5}{4} + \dots$