自然対数の底 $e$ の定義式 $e = \lim_{n\to\infty} (1+\frac{1}{n})^n$ を利用して、以下の2つの極限値を求める問題です。 (1) $\lim_{n\to\infty} (1-\frac{1}{n})^n$ (2) $\lim_{n\to\infty} (1+\frac{2}{n})^n$

1. 問題の内容

自然対数の底 $e$ の定義式 $e = \lim_{n\to\infty} (1+\frac{1}{n})^n$ を利用して、以下の2つの極限値を求める問題です。

(1) $\lim_{n\to\infty} (1-\frac{1}{n})^n$

(2) $\lim_{n\to\infty} (1+\frac{2}{n})^n$

2. 解き方の手順

(1)

まず、$(1-\frac{1}{n})^n$ を変形します。$m = -n$ とおくと、$n = -m$ となり、$n \to \infty$ のとき $m \to -\infty$ となります。

したがって、

$$(1-\frac{1}{n})^n = (1+\frac{1}{m})^{-m} = \left( (1+\frac{1}{m})^m \right)^{-1}$$

$m\to -\infty$ とすると、$\lim_{m\to-\infty}(1+\frac{1}{m})^m=e$ より、

$$\lim_{n\to\infty} (1-\frac{1}{n})^n = \lim_{m\to-\infty} \left( (1+\frac{1}{m})^m \right)^{-1} = e^{-1} = \frac{1}{e}$$

(2)

次に、$(1+\frac{2}{n})^n$ を変形します。$m = \frac{n}{2}$ とおくと、$n = 2m$ となり、$n \to \infty$ のとき $m \to \infty$ となります。

したがって、

$$(1+\frac{2}{n})^n = (1+\frac{1}{m})^{2m} = \left( (1+\frac{1}{m})^m \right)^2$$

$m\to \infty$ とすると、$\lim_{m\to\infty}(1+\frac{1}{m})^m=e$ より、

$$\lim_{n\to\infty} (1+\frac{2}{n})^n = \lim_{m\to\infty} \left( (1+\frac{1}{m})^m \right)^2 = e^2$$

3. 最終的な答え

(1) $\lim_{n\to\infty} (1-\frac{1}{n})^n = \frac{1}{e}$

(2) $\lim_{n\to\infty} (1+\frac{2}{n})^n = e^2$