自然対数の底 $e$ の定義式 $e = \lim_{n\to\infty} (1+\frac{1}{n})^n$ を利用して、以下の2つの極限値を求める問題です。 (1) $\lim_{n\to\infty} (1-\frac{1}{n})^n$ (2) $\lim_{n\to\infty} (1+\frac{2}{n})^n$

解析学極限自然対数e数列
2025/6/10

1. 問題の内容

自然対数の底 ee の定義式 e=limn(1+1n)ne = \lim_{n\to\infty} (1+\frac{1}{n})^n を利用して、以下の2つの極限値を求める問題です。
(1) limn(11n)n\lim_{n\to\infty} (1-\frac{1}{n})^n
(2) limn(1+2n)n\lim_{n\to\infty} (1+\frac{2}{n})^n

2. 解き方の手順

(1)
まず、(11n)n(1-\frac{1}{n})^n を変形します。m=nm = -n とおくと、n=mn = -m となり、nn \to \infty のとき mm \to -\infty となります。
したがって、
(11n)n=(1+1m)m=((1+1m)m)1(1-\frac{1}{n})^n = (1+\frac{1}{m})^{-m} = \left( (1+\frac{1}{m})^m \right)^{-1}
mm\to -\infty とすると、limm(1+1m)m=e\lim_{m\to-\infty}(1+\frac{1}{m})^m=e より、
limn(11n)n=limm((1+1m)m)1=e1=1e\lim_{n\to\infty} (1-\frac{1}{n})^n = \lim_{m\to-\infty} \left( (1+\frac{1}{m})^m \right)^{-1} = e^{-1} = \frac{1}{e}
(2)
次に、(1+2n)n(1+\frac{2}{n})^n を変形します。m=n2m = \frac{n}{2} とおくと、n=2mn = 2m となり、nn \to \infty のとき mm \to \infty となります。
したがって、
(1+2n)n=(1+1m)2m=((1+1m)m)2(1+\frac{2}{n})^n = (1+\frac{1}{m})^{2m} = \left( (1+\frac{1}{m})^m \right)^2
mm\to \infty とすると、limm(1+1m)m=e\lim_{m\to\infty}(1+\frac{1}{m})^m=e より、
limn(1+2n)n=limm((1+1m)m)2=e2\lim_{n\to\infty} (1+\frac{2}{n})^n = \lim_{m\to\infty} \left( (1+\frac{1}{m})^m \right)^2 = e^2

3. 最終的な答え

(1) limn(11n)n=1e\lim_{n\to\infty} (1-\frac{1}{n})^n = \frac{1}{e}
(2) limn(1+2n)n=e2\lim_{n\to\infty} (1+\frac{2}{n})^n = e^2

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