$n$ は自然数、$a, b$ は $|a| + |b| \le 1$ を満たす実数とし、$f(x) = ax^n + b$ とおく。方程式 $f(x) = x$ の実数解で、$-1 \le x \le 1$ の範囲にあるものが存在することを示せ。

1. 問題の内容

$n$ は自然数、$a, b$ は $|a| + |b| \le 1$ を満たす実数とし、$f(x) = ax^n + b$ とおく。方程式 $f(x) = x$ の実数解で、$-1 \le x \le 1$ の範囲にあるものが存在することを示せ。

2. 解き方の手順

まず、$g(x) = f(x) - x$ とおきます。つまり、$g(x) = ax^n + b - x$ です。$g(x) = 0$ が $-1 \le x \le 1$ の範囲に実数解を持つことを示せばよいことになります。

中間値の定理を使うことを考えます。

$g(-1)$ と $g(1)$ を計算します。

$g(-1) = a(-1)^n + b - (-1) = a(-1)^n + b + 1$

$g(1) = a(1)^n + b - 1 = a + b - 1$

ここで、$g(-1) + g(1) = a((-1)^n + 1) + 2b$ となります。

$n$ が偶数の場合、$g(-1) = a + b + 1$ であり、$g(-1) + g(1) = 2a + 2b = 2(a + b)$

$n$ が奇数の場合、$g(-1) = -a + b + 1$ であり、$g(-1) + g(1) = 2b + 2(-a+a) = 2b$

いずれにしても、仮定 $|a| + |b| \le 1$ を利用します。

$n$ が偶数のとき、$|a+b| \leq |a| + |b| \leq 1$　なので $-1 \le a+b \le 1$。従って $-1 \le a+b \le 1$ より $-2 \le 2(a+b) \le 2$ が成り立ちます。

$n$ が奇数のとき、$|b| \leq |a| + |b| \leq 1$ なので $-1 \le b \le 1$。従って $-2 \le 2b \le 2$ が成り立ちます。

ここで、$g(-1) + g(1)$ を考慮します。

$g(-1) + g(1) = a((-1)^n + 1) + 2b$

$g(-1) + g(1)$ の符号について考察します。

$g(1) + g(-1) = a(1 + (-1)^n) + 2b$ なので、

場合分け

- $n$が奇数のとき，$g(1) + g(-1) = 2b$ です。仮定より $|b| \le 1$ であるから $-1 \le b \le 1$ であり、$-2 \le 2b \le 2$ です。

- $n$が偶数のとき，$g(1) + g(-1) = 2a + 2b = 2(a+b)$ です。仮定より $|a| + |b| \le 1$ であるから $|a+b| \le |a| + |b| \le 1$ であり、$-1 \le a+b \le 1$ より $-2 \le 2(a+b) \le 2$ です。

ここで、$g(1) = a + b - 1$ で、$|a| + |b| \le 1$ より $a+b \le |a| + |b| \le 1$ だから、$a + b - 1 \le 0$ となります。つまり $g(1) \le 0$ です。

$g(-1) = a(-1)^n + b + 1$ について考えます。

もし $g(1) = 0$ ならば、$f(1) = 1$ となり、$x = 1$ が $-1 \le x \le 1$ の範囲にある解となります。

$g(1) < 0$ の場合、

$n$ が偶数なら、$g(-1) = a + b + 1$ となり、$a+b \ge -|a| - |b| \ge -1$ なので、$g(-1) \ge 0$ となります。

$n$ が奇数なら、$g(-1) = -a + b + 1$ となり、$g(-1) + g(1) = -a + b + 1 + a + b - 1 = 2b$ なので、$g(-1) = 2b - g(1)$

$g(-1) > 0$ と $g(1) < 0$ が言えたので、中間値の定理より $-1 \le x \le 1$ の範囲に $g(x) = 0$ となる実数解が存在します。

3. 最終的な答え

方程式 $f(x) = x$ の実数解で、$-1 \le x \le 1$ の範囲にあるものが存在する。