与えられた2つの関数を微分する問題です。 (1) $y = \frac{x^2}{\sqrt{2x-1}}$ (2) $y = \sqrt{|x^2 - 1|}$ (ただし、$x \neq \pm 1$)

1. 問題の内容

与えられた2つの関数を微分する問題です。

(1) $y = \frac{x^2}{\sqrt{2x-1}}$

(2) $y = \sqrt{|x^2 - 1|}$ (ただし、$x \neq \pm 1$)

2. 解き方の手順

(1) $y = \frac{x^2}{\sqrt{2x-1}}$ の微分

商の微分公式 $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を用います。

$u = x^2$ とすると $u' = 2x$

$v = \sqrt{2x-1} = (2x-1)^{1/2}$ とすると $v' = \frac{1}{2}(2x-1)^{-1/2} \cdot 2 = (2x-1)^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{2x-1}}$

したがって、

$\begin{aligned} y' &= \frac{2x\sqrt{2x-1} - x^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2x-1}}}{(\sqrt{2x-1})^2} \\ &= \frac{2x(2x-1) - x^2}{(2x-1)\sqrt{2x-1}} \\ &= \frac{4x^2 - 2x - x^2}{(2x-1)\sqrt{2x-1}} \\ &= \frac{3x^2 - 2x}{(2x-1)\sqrt{2x-1}} \\ &= \frac{x(3x-2)}{(2x-1)\sqrt{2x-1}} \end{aligned}$

(2) $y = \sqrt{|x^2 - 1|}$ の微分

絶対値記号があるため、場合分けをします。

(i) $x^2 - 1 > 0$ つまり $|x| > 1$ のとき、$y = \sqrt{x^2 - 1}$

$y' = \frac{1}{2}(x^2 - 1)^{-1/2} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}}$

(ii) $x^2 - 1 < 0$ つまり $|x| < 1$ のとき、$y = \sqrt{-(x^2 - 1)} = \sqrt{1 - x^2}$

$y' = \frac{1}{2}(1 - x^2)^{-1/2} \cdot (-2x) = \frac{-x}{\sqrt{1 - x^2}}$

したがって、

$y' = \begin{cases}

\frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}} & (|x| > 1) \\

\frac{-x}{\sqrt{1 - x^2}} & (|x| < 1)

\end{cases}$

これは

$y' = \frac{x}{\sqrt{|x^2-1|}} \cdot \frac{x^2-1}{|x^2-1|} = \frac{x(x^2-1)}{|x^2-1|\sqrt{|x^2-1|}}$ とも書けます。

3. 最終的な答え

(1) $y' = \frac{x(3x-2)}{(2x-1)\sqrt{2x-1}}$

(2) $y' = \begin{cases}

\frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}} & (|x| > 1) \\

\frac{-x}{\sqrt{1 - x^2}} & (|x| < 1)

\end{cases}$

または

$y' = \frac{x(x^2-1)}{|x^2-1|\sqrt{|x^2-1|}}$