$n$ は自然数、$a, b$ は $ |a| + |b| \leq 1 $ を満たす実数とする。関数 $ f(x) = ax^{2n} + b $ とおく。方程式 $f(x) = x$ の実数解で、$-1 \leq x \leq 1$ の範囲にあるものが存在することを示せ。

1. 問題の内容

$n$ は自然数、$a, b$ は $|a| + |b| \leq 1$ を満たす実数とする。関数 $f(x) = ax^{2n} + b$ とおく。方程式 $f(x) = x$ の実数解で、$-1 \leq x \leq 1$ の範囲にあるものが存在することを示せ。

2. 解き方の手順

まず、$g(x) = f(x) - x = ax^{2n} + b - x$ とおく。

$g(x)$ は連続関数である。

$x$ が $-1 \leq x \leq 1$ の範囲にあるとき、

$g(-1) = a(-1)^{2n} + b - (-1) = a + b + 1$

$g(1) = a(1)^{2n} + b - 1 = a + b - 1$

ここで、$g(-1) \geq 0$ または $g(1) \leq 0$ が成り立つことを示す。

もし、$g(-1) < 0$ かつ $g(1) > 0$ ならば、中間値の定理より、$-1 < x < 1$ の範囲に $g(x) = 0$ となる $x$ が存在する。同様に、$g(1) \leq 0$ ならば、$-1 \leq x \leq 1$ の範囲に $g(x) = 0$ となる $x$ が存在する。

$g(-1) + g(1) = a + b + 1 + a + b - 1 = 2(a + b)$

もし $a+b \geq 0$ ならば、$g(-1) = a+b+1 \geq 1 > 0$.

もし $a+b < 0$ ならば、$g(1) = a+b-1$.

$|a| + |b| \leq 1$ より、$-1 \leq a+b \leq 1$. よって、$a+b > -1$ の場合もあれば、$a+b = -1$の場合もある。

$|a| + |b| \leq 1$ より、$-1 \leq a \leq 1$ かつ $-1 \leq b \leq 1$.

$|a+b| \leq |a| + |b| \leq 1$ なので、 $-1 \leq a+b \leq 1$。

よって、$a+b - 1 \leq 0$ であるから、$g(1) \leq 0$となる。

したがって、中間値の定理より、$g(x) = 0$ となる $x$ が $-1 \leq x \leq 1$ の範囲に少なくとも1つ存在する。

3. 最終的な答え

方程式 $f(x) = x$ の実数解で、$-1 \leq x \leq 1$ の範囲にあるものが存在する。