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関数 $y = \frac{1}{x+1}$ のマクローリン級数を求めよ。

解析学マクローリン級数テイラー展開等比数列
2025/6/10

1. 問題の内容

関数 y=1x+1y = \frac{1}{x+1} のマクローリン級数を求めよ。

2. 解き方の手順

マクローリン級数は、関数を x=0x=0 の周りでテイラー展開したものです。
まず、y=1x+1y = \frac{1}{x+1} を次のように変形します。
y=11−(−x)y = \frac{1}{1-(-x)}
これは初項が 11、公比が −x-x の等比数列の和の形をしています。
したがって、∣x∣<1|x| < 1 のとき、次のようになります。
y=1−x+x2−x3+x4−⋯=∑n=0∞(−1)nxny = 1 - x + x^2 - x^3 + x^4 - \dots = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n

3. 最終的な答え

y=∑n=0∞(−1)nxny = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n

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