$x > 0$ に対して関数 $f(x) = \frac{\log x}{x}$ が与えられている。 (1) $n=1, 2, \dots$ に対して、$f(x)$ の $n$ 次導関数は数列 $\{a_n\}, \{b_n\}$ を用いて $f^{(n)}(x) = \frac{a_n + b_n \log x}{x^{n+1}}$ と表される。$a_n, b_n$ に関する漸化式を求めよ。 (2) $h_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$ とおく。$h_n$ を用いて、$a_n, b_n$ の一般項を求めよ。

1. 問題の内容

$x > 0$ に対して関数 $f(x) = \frac{\log x}{x}$ が与えられている。

(1) $n=1, 2, \dots$ に対して、$f(x)$ の $n$ 次導関数は数列 $\{a_n\}, \{b_n\}$ を用いて $f^{(n)}(x) = \frac{a_n + b_n \log x}{x^{n+1}}$ と表される。$a_n, b_n$ に関する漸化式を求めよ。

(2) $h_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$ とおく。$h_n$ を用いて、$a_n, b_n$ の一般項を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 漸化式を求める。$f^{(n)}(x) = \frac{a_n + b_n \log x}{x^{n+1}}$ を微分して、$f^{(n+1)}(x)$ を求める。

$f^{(n+1)}(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{a_n + b_n \log x}{x^{n+1}} \right)$

$= \frac{ \frac{b_n}{x} x^{n+1} - (a_n + b_n \log x) (n+1) x^n }{x^{2n+2}}$

$= \frac{b_n x^n - (a_n + b_n \log x) (n+1) x^n }{x^{2n+2}}$

$= \frac{b_n - (n+1) a_n - (n+1) b_n \log x}{x^{n+2}}$

$= \frac{- (n+1) a_n + b_n - (n+1) b_n \log x}{x^{n+2}}$

$f^{(n+1)}(x) = \frac{a_{n+1} + b_{n+1} \log x}{x^{n+2}}$ であるから、係数を比較して

$a_{n+1} = - (n+1) a_n + b_n$

$b_{n+1} = - (n+1) b_n$

(2) 一般項を求める。まず、$b_n$ の一般項を求める。

$b_{n+1} = - (n+1) b_n$ より、

$b_1 = 1$, $f(x) = \frac{\log x}{x}$ を微分すると、$f'(x) = \frac{1 - \log x}{x^2}$。したがって、$a_1 = 1, b_1 = -1$

$b_2 = -2b_1 = 2$

$b_3 = -3b_2 = -3(2) = -6$

$b_4 = -4b_3 = -4(-6) = 24$

よって、$b_n = (-1)^n n!$

次に $a_n$ を求める。

$a_{n+1} = - (n+1) a_n + b_n$ より

$a_{n+1} = - (n+1) a_n + (-1)^n n!$

両辺を $(n+1)!$ で割ると

$\frac{a_{n+1}}{(n+1)!} = - \frac{a_n}{n!} + \frac{(-1)^n}{n+1}$

$c_n = \frac{a_n}{n!}$ とおくと、

$c_{n+1} = - c_n + \frac{(-1)^n}{n+1}$

$c_1 = \frac{a_1}{1!} = 1$

$c_{n+1} - c_n = -2c_n + \frac{(-1)^n}{n+1}$

$c_{n+1} = -c_n + \frac{(-1)^n}{n+1}$

$c_1 = 1$, $c_2 = -c_1 + \frac{-1}{2} = -1 - \frac{1}{2} = -\frac{3}{2}$

$c_3 = -c_2 + \frac{1}{3} = \frac{3}{2} + \frac{1}{3} = \frac{11}{6}$

$c_4 = -c_3 + \frac{-1}{4} = -\frac{11}{6} - \frac{1}{4} = -\frac{25}{12}$

$c_n = (-1)^{n-1} h_n$ を仮定すると

$c_{n+1} = - (-1)^{n-1} h_n + \frac{(-1)^n}{n+1} = (-1)^n h_n + \frac{(-1)^n}{n+1} = (-1)^n (h_n + \frac{1}{n+1}) = (-1)^n h_{n+1}$

よって、$c_n = (-1)^{n-1} h_n$ が成り立つ。

$a_n = n! c_n = n! (-1)^{n-1} h_n = (-1)^{n-1} n! h_n$

3. 最終的な答え

(1)

$a_{n+1} = - (n+1) a_n + b_n$

$b_{n+1} = - (n+1) b_n$

(2)

$a_n = (-1)^{n-1} n! h_n$

$b_n = (-1)^n n!$