関数 $y = e^{-x}$ のマクローリン級数を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = e^{-x}$ のマクローリン級数を求めよ。

2. 解き方の手順

マクローリン級数とは、関数 $f(x)$ を $x=0$ の周りでテイラー展開したものです。一般に、テイラー展開は以下の式で表されます。

$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$

マクローリン級数は $a=0$ の場合なので、

$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$

となります。したがって、$f(x) = e^{-x}$ のマクローリン級数を求めるには、$f(x)$ の $n$ 階導関数 $f^{(n)}(x)$ を求め、$x=0$ での値を計算する必要があります。

まず、$f(x)$ のいくつかの導関数を計算します。

$f(x) = e^{-x}$

$f'(x) = -e^{-x}$

$f''(x) = e^{-x}$

$f'''(x) = -e^{-x}$

$f^{(4)}(x) = e^{-x}$

一般的に、

$f^{(n)}(x) = (-1)^n e^{-x}$

と表せます。

したがって、$f^{(n)}(0) = (-1)^n e^0 = (-1)^n$ です。

これをマクローリン級数の式に代入すると、

$e^{-x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n!}x^n = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-x)^n}{n!} = 1 - x + \frac{x^2}{2!} - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} - \dots$

3. 最終的な答え

$e^{-x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-x)^n}{n!}$