$y = e^x \sin x$ のマクローリン級数を求めよ。

1. 問題の内容

$y = e^x \sin x$ のマクローリン級数を求めよ。

2. 解き方の手順

マクローリン級数は、関数 $f(x)$ に対して、

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \dots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n$

で与えられます。

まず、$f(x) = e^x \sin x$ とおきます。

$f(0) = e^0 \sin 0 = 1 \cdot 0 = 0$

次に、$f(x)$ の導関数をいくつか計算します。

$f'(x) = e^x \sin x + e^x \cos x = e^x (\sin x + \cos x)$

$f'(0) = e^0 (\sin 0 + \cos 0) = 1 \cdot (0 + 1) = 1$

$f''(x) = e^x (\sin x + \cos x) + e^x (\cos x - \sin x) = e^x (\sin x + \cos x + \cos x - \sin x) = 2 e^x \cos x$

$f''(0) = 2 e^0 \cos 0 = 2 \cdot 1 \cdot 1 = 2$

$f'''(x) = 2 e^x \cos x - 2 e^x \sin x = 2 e^x (\cos x - \sin x)$

$f'''(0) = 2 e^0 (\cos 0 - \sin 0) = 2 \cdot 1 \cdot (1 - 0) = 2$

$f^{(4)}(x) = 2 e^x (\cos x - \sin x) + 2 e^x (-\sin x - \cos x) = 2 e^x (\cos x - \sin x - \sin x - \cos x) = -4 e^x \sin x$

$f^{(4)}(0) = -4 e^0 \sin 0 = -4 \cdot 1 \cdot 0 = 0$

$f^{(5)}(x) = -4 e^x \sin x - 4 e^x \cos x = -4 e^x (\sin x + \cos x)$

$f^{(5)}(0) = -4 e^0 (\sin 0 + \cos 0) = -4 \cdot 1 \cdot (0 + 1) = -4$

$f^{(6)}(x) = -4 e^x (\sin x + \cos x) - 4 e^x (\cos x - \sin x) = -4 e^x (\sin x + \cos x + \cos x - \sin x) = -8 e^x \cos x$

$f^{(6)}(0) = -8 e^0 \cos 0 = -8 \cdot 1 \cdot 1 = -8$

$f^{(7)}(x) = -8 e^x \cos x + 8 e^x \sin x = -8 e^x (\cos x - \sin x)$

$f^{(7)}(0) = -8 e^0 (\cos 0 - \sin 0) = -8 \cdot 1 \cdot (1 - 0) = -8$

$f^{(8)}(x) = -8 e^x (\cos x - \sin x) - 8 e^x (-\sin x - \cos x) = -8 e^x (\cos x - \sin x + \sin x + \cos x) = -16 e^x \cos x$

$f^{(8)}(0) = -16 e^0 \cos 0 = -16 \cdot 1 \cdot 1 = -16$

したがって、マクローリン級数は次のようになります。

$e^x \sin x = 0 + 1 x + \frac{2}{2!} x^2 + \frac{2}{3!} x^3 + \frac{0}{4!} x^4 + \frac{-4}{5!} x^5 + \frac{-8}{6!} x^6 + \dots$

$e^x \sin x = x + x^2 + \frac{1}{3} x^3 - \frac{1}{30} x^5 - \frac{1}{90} x^6 + \dots$

$e^x$ と $\sin x$ のマクローリン展開はそれぞれ、

$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots$

$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots$

なので、$e^x \sin x$ のマクローリン展開は、

$e^x \sin x = (1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \dots)(x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \dots)$

$= x + x^2 + (\frac{1}{2} - \frac{1}{6})x^3 + (-\frac{1}{6} + \frac{1}{6})x^4 + \dots$

$= x + x^2 + \frac{1}{3} x^3 + O(x^5)$

3. 最終的な答え

$e^x \sin x = x + x^2 + \frac{x^3}{3} - \frac{x^5}{30} - \frac{x^6}{90} + \cdots$

一般項で表現すると、$\sum_{n=1}^{\infty} a_n x^n$ で、$a_1=1, a_2=1, a_3=1/3$となります。