関数 $y = x^2e^x$ のマクローリン級数を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = x^2e^x$ のマクローリン級数を求める問題です。

2. 解き方の手順

マクローリン級数は、関数を原点（x=0）でテイラー展開したものです。 指数関数 $e^x$ のマクローリン展開を利用します。

$e^x$ のマクローリン級数は以下の通りです。

$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$

$y = x^2e^x$ のマクローリン級数を求めるには、$e^x$ のマクローリン級数に$x^2$を掛けます。

$x^2 e^x = x^2 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n+2}}{n!} = x^2 + x^3 + \frac{x^4}{2!} + \frac{x^5}{3!} + \cdots$

3. 最終的な答え

$x^2e^x$のマクローリン級数は、

$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n+2}}{n!}$です。

もしくは、

$x^2 + x^3 + \frac{x^4}{2!} + \frac{x^5}{3!} + \frac{x^6}{4!} + \dots$

と記述することもできます。