関数 $y = 2\sin^2\theta + 2\cos\theta + 4$ の最大値と最小値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = 2\sin^2\theta + 2\cos\theta + 4$ の最大値と最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\sin^2\theta$を$\cos$の関数で表します。三角関数の恒等式$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$より、$\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta$です。これを元の式に代入します。

$y = 2(1 - \cos^2\theta) + 2\cos\theta + 4$

次に、式を整理します。

$y = 2 - 2\cos^2\theta + 2\cos\theta + 4$

$y = -2\cos^2\theta + 2\cos\theta + 6$

$\cos\theta = t$とおくと、$-1 \le t \le 1$です。すると、関数は次のようになります。

$y = -2t^2 + 2t + 6$

これを平方完成します。

$y = -2(t^2 - t) + 6$

$y = -2(t^2 - t + \frac{1}{4} - \frac{1}{4}) + 6$

$y = -2(t - \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{2} + 6$

$y = -2(t - \frac{1}{2})^2 + \frac{13}{2}$

$t = \frac{1}{2}$のとき、yは最大値$\frac{13}{2}$をとります。

$t$の範囲は$-1 \le t \le 1$です。

$t = -1$のとき、$y = -2(-1)^2 + 2(-1) + 6 = -2 - 2 + 6 = 2$

$t = 1$のとき、$y = -2(1)^2 + 2(1) + 6 = -2 + 2 + 6 = 6$

したがって、$t = -1$のとき、yは最小値$2$をとります。

3. 最終的な答え

最大値：$\frac{13}{2}$

最小値：$2$