$f(x) = \frac{1}{1+x}$ の $n$ 次導関数を求める。

はい、承知いたしました。画像に書かれた数学の問題を解いていきます。

**問題1 a)**

1. 問題の内容

$f(x) = \frac{1}{1+x}$ の $n$ 次導関数を求める。

2. 解き方の手順

まず、いくつかの導関数を計算して、規則性を見つける。

$f'(x) = -\frac{1}{(1+x)^2}$

$f''(x) = \frac{2}{(1+x)^3}$

$f'''(x) = -\frac{6}{(1+x)^4}$

$f^{(4)}(x) = \frac{24}{(1+x)^5}$

一般的に、

$f^{(n)}(x) = (-1)^n \frac{n!}{(1+x)^{n+1}}$

3. 最終的な答え

$f^{(n)}(x) = \frac{(-1)^n n!}{(1+x)^{n+1}}$

**問題1 b)**

1. 問題の内容

$f(x) = \log(1-x)$ の $n$ 次導関数を求める。

2. 解き方の手順

まず、いくつかの導関数を計算して、規則性を見つける。

$f'(x) = \frac{-1}{1-x} = -(1-x)^{-1}$

$f''(x) = -(1-x)^{-2}$

$f'''(x) = -2(1-x)^{-3}$

$f^{(4)}(x) = -6(1-x)^{-4}$

一般的に、

$f^{(n)}(x) = -(n-1)!(1-x)^{-n} = -\frac{(n-1)!}{(1-x)^n}$ (for $n \ge 1$)

3. 最終的な答え

$f^{(n)}(x) = -\frac{(n-1)!}{(1-x)^n}$

**問題1 c)**

1. 問題の内容

$f(x) = (1+x)^{\frac{1}{2}}$ の $n$ 次導関数を求める。

2. 解き方の手順

まず、いくつかの導関数を計算して、規則性を見つける。

$f'(x) = \frac{1}{2}(1+x)^{-\frac{1}{2}}$

$f''(x) = \frac{1}{2}(-\frac{1}{2})(1+x)^{-\frac{3}{2}} = -\frac{1}{4}(1+x)^{-\frac{3}{2}}$

$f'''(x) = \frac{1}{2}(-\frac{1}{2})(-\frac{3}{2})(1+x)^{-\frac{5}{2}} = \frac{3}{8}(1+x)^{-\frac{5}{2}}$

$f^{(4)}(x) = \frac{1}{2}(-\frac{1}{2})(-\frac{3}{2})(-\frac{5}{2})(1+x)^{-\frac{7}{2}} = -\frac{15}{16}(1+x)^{-\frac{7}{2}}$

一般的に、$f^{(n)}(x) = \frac{1}{2}(\frac{1}{2}-1)(\frac{1}{2}-2) \cdots (\frac{1}{2}-(n-1))(1+x)^{\frac{1}{2}-n}$

$f^{(n)}(x) = \frac{1}{2}(\frac{-1}{2})(\frac{-3}{2}) \cdots (\frac{3-2n}{2})(1+x)^{\frac{1}{2}-n}$

$f^{(n)}(x) = (\frac{1}{2})^n (1)(-1)(-3)\cdots(3-2n) (1+x)^{\frac{1}{2}-n}$

3. 最終的な答え

$f^{(n)}(x) = \frac{(-1)^{n-1}(2n-3)!!}{2^n}(1+x)^{\frac{1}{2}-n}$　(ただし、$(2n-3)!! = (2n-3)(2n-5)\cdots 3 \cdot 1$ for $n > 1$, and $(-1)!!=1$)

**問題2**

1. 問題の内容

$f(x) = x^2 e^{2x}$ の3次導関数を求める。

2. 解き方の手順

$f'(x) = 2x e^{2x} + 2x^2 e^{2x} = (2x^2 + 2x)e^{2x}$

$f''(x) = (4x+2)e^{2x} + 2(2x^2+2x)e^{2x} = (4x^2 + 8x + 2)e^{2x}$

$f'''(x) = (8x+8)e^{2x} + 2(4x^2 + 8x + 2)e^{2x} = (8x^2 + 24x + 12)e^{2x}$

3. 最終的な答え

$f'''(x) = (8x^2 + 24x + 12)e^{2x}$

**問題3**

1. 問題の内容

$f(x) = \frac{e^x}{1-x}$ の3次導関数を求める。

2. 解き方の手順

$f'(x) = \frac{e^x(1-x) - e^x(-1)}{(1-x)^2} = \frac{e^x - xe^x + e^x}{(1-x)^2} = \frac{(2-x)e^x}{(1-x)^2}$

$f''(x) = \frac{[(2-x)e^x(-1) + e^x(-1)](1-x)^2 - (2-x)e^x 2(1-x)(-1)}{(1-x)^4}$

$f''(x) = \frac{e^x[(-2+x+1)(1-x)^2 + 2(2-x)(1-x)]}{(1-x)^4}$

$f''(x) = \frac{e^x[(-1+x)(1-2x+x^2) + 2(2-3x+x^2)]}{(1-x)^4}$

$f''(x) = \frac{e^x[-1+2x-x^2+x-2x^2+x^3+4-6x+2x^2]}{(1-x)^4} = \frac{e^x[x^3-x^2-3x+3]}{(1-x)^4} = \frac{e^x[x^2-3]}{(1-x)^3}$

$f'''(x) = \frac{e^x(1-x)^3(x^2-3+2x)+3(1-x)^2e^x(x^2-3)}{(1-x)^6} = \frac{e^x((1-x)(2x+x^2-3)+3(x^2-3))}{(1-x)^4}=\frac{e^x(-x^3+x^2+5x-3+3x^2-9)}{(1-x)^4} =\frac{e^x(-x^3+4x^2+5x-12)}{(1-x)^4}$

3. 最終的な答え

$f'''(x) = \frac{(-x^3 + 4x^2 + 5x - 12)e^x}{(1-x)^4}$

**問題4**

1. 問題の内容

$f(x) = xe^{-x^2}$ の最大値と最小値を求める。

2. 解き方の手順

$f'(x) = e^{-x^2} + x(-2x)e^{-x^2} = e^{-x^2}(1 - 2x^2)$

$f'(x) = 0$ となるのは $1 - 2x^2 = 0$ のとき、つまり $x^2 = \frac{1}{2}$ のとき。

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

$f(\frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{1}{\sqrt{2}} e^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2e}}$

$f(-\frac{1}{\sqrt{2}}) = -\frac{1}{\sqrt{2}} e^{-\frac{1}{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2e}}$

$\lim_{x \to \infty} xe^{-x^2} = 0$

$\lim_{x \to -\infty} xe^{-x^2} = 0$

3. 最終的な答え

最大値: $\frac{1}{\sqrt{2e}}$, 最小値: $-\frac{1}{\sqrt{2e}}$

**問題5**

1. 問題の内容

$x > 0$ において、関数 $f(x) = x^2 \log x$ の最小値を求める。

2. 解き方の手順

$f'(x) = 2x \log x + x^2 \frac{1}{x} = 2x \log x + x = x(2 \log x + 1)$

$f'(x) = 0$ となるのは $2 \log x + 1 = 0$ のとき、つまり $\log x = -\frac{1}{2}$ のとき。

$x = e^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{e}}$

$f''(x) = 2 \log x + 1 + x \frac{2}{x} = 2 \log x + 3$

$f''(\frac{1}{\sqrt{e}}) = 2 \log(\frac{1}{\sqrt{e}}) + 3 = 2(-\frac{1}{2}) + 3 = -1 + 3 = 2 > 0$

したがって、$x = \frac{1}{\sqrt{e}}$ で極小値を取る。

$f(\frac{1}{\sqrt{e}}) = (\frac{1}{\sqrt{e}})^2 \log (\frac{1}{\sqrt{e}}) = \frac{1}{e} (-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{2e}$

3. 最終的な答え

最小値: $-\frac{1}{2e}$

**問題6**

1. 問題の内容

$f(x) = \frac{x^2}{4+x^2}$ の最大値と最小値を求める。

2. 解き方の手順

$f'(x) = \frac{2x(4+x^2) - x^2(2x)}{(4+x^2)^2} = \frac{8x+2x^3-2x^3}{(4+x^2)^2} = \frac{8x}{(4+x^2)^2}$

$f'(x) = 0$ となるのは $x=0$ のとき。

$f(0) = \frac{0}{4} = 0$

$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{4+x^2} = 1$

$\lim_{x \to -\infty} \frac{x^2}{4+x^2} = 1$

$f(x)$ は偶関数なので、$x=0$ で最小値を取る。

3. 最終的な答え

最大値: 1, 最小値: 0