与えられた関数の指定された点における左極限と右極限、および極限を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数の指定された点における左極限と右極限、および極限を求める問題です。

2. 解き方の手順

(2a)

関数は $y = \frac{(x+3)(x+1)}{|x+1|}$ で、$x=-1$ における左極限と右極限を求めます。

* $x > -1$ のとき、$|x+1| = x+1$ なので、$y = \frac{(x+3)(x+1)}{x+1} = x+3$ です。したがって、右極限は $\lim_{x \to -1+0} (x+3) = -1+3 = 2$ です。

* $x < -1$ のとき、$|x+1| = -(x+1)$ なので、$y = \frac{(x+3)(x+1)}{-(x+1)} = -(x+3)$ です。したがって、左極限は $\lim_{x \to -1-0} -(x+3) = -(-1+3) = -2$ です。

(2b)

関数は $y = \frac{x(x^2-5)}{|x|}$ で、$x=0$ における左極限と右極限を求めます。

* $x > 0$ のとき、$|x| = x$ なので、$y = \frac{x(x^2-5)}{x} = x^2-5$ です。したがって、右極限は $\lim_{x \to 0+0} (x^2-5) = 0^2-5 = -5$ です。

* $x < 0$ のとき、$|x| = -x$ なので、$y = \frac{x(x^2-5)}{-x} = -(x^2-5) = 5-x^2$ です。したがって、左極限は $\lim_{x \to 0-0} (5-x^2) = 5-0^2 = 5$ です。

(3a)

$\lim_{x \to +0} \log x = -\infty$ (底が1より大きい場合。問題文に底が明示されていないが、常用対数もしくは自然対数であると仮定)

(3b)

$\lim_{x \to +0} \log_{\frac{1}{8}} x = \infty$ （底が1より小さい対数なので）

(3c)

$\lim_{x \to \frac{\pi}{2} + 0} \tan x = -\infty$

(3d)

$\lim_{x \to -\frac{\pi}{2} - 0} \tan x = \infty$

3. 最終的な答え

(2a)

左極限：-2

右極限：2

(2b)

左極限：5

右極限：-5

(3a)

$-\infty$

(3b)

$\infty$

(3c)

$-\infty$

(3d)

$\infty$