(1) 曲線 $y = x^2 - 3$ と $x$軸で囲まれた図形の面積 $S_1$ を求めます。 (2) 2曲線 $y = x^2 - 3$ と $y = -x^2 + 2x + 1$ で囲まれた図形の面積 $S_2$ を求めます。 (3) 定積分 $\int_{-2}^{2} (\frac{7108}{243}x^3 + 3x^2 - \frac{4109}{29563}x + 1) dx$ を計算します。

1. 問題の内容

(1) 曲線 $y = x^2 - 3$ と $x$軸で囲まれた図形の面積 $S_1$ を求めます。

(2) 2曲線 $y = x^2 - 3$ と $y = -x^2 + 2x + 1$ で囲まれた図形の面積 $S_2$ を求めます。

(3) 定積分 $\int_{-2}^{2} (\frac{7108}{243}x^3 + 3x^2 - \frac{4109}{29563}x + 1) dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

(1) $y = x^2 - 3$ と $x$ 軸との交点を求めます。$x^2 - 3 = 0$ より $x = \pm \sqrt{3}$。

$S_1 = \left| \int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} (x^2 - 3) dx \right| = \left| \left[ \frac{x^3}{3} - 3x \right]_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} \right| = \left| (\frac{3\sqrt{3}}{3} - 3\sqrt{3}) - (-\frac{3\sqrt{3}}{3} + 3\sqrt{3}) \right| = \left| \sqrt{3} - 3\sqrt{3} + \sqrt{3} - 3\sqrt{3} \right| = |-4\sqrt{3}| = 4\sqrt{3}$.

(2) $y = x^2 - 3$ と $y = -x^2 + 2x + 1$ の交点を求めます。$x^2 - 3 = -x^2 + 2x + 1$ より $2x^2 - 2x - 4 = 0$。

$x^2 - x - 2 = 0$ なので $(x - 2)(x + 1) = 0$。したがって $x = -1, 2$。

$S_2 = \left| \int_{-1}^{2} ((-x^2 + 2x + 1) - (x^2 - 3)) dx \right| = \left| \int_{-1}^{2} (-2x^2 + 2x + 4) dx \right| = \left| \left[ -\frac{2}{3}x^3 + x^2 + 4x \right]_{-1}^{2} \right| = \left| (-\frac{16}{3} + 4 + 8) - (\frac{2}{3} + 1 - 4) \right| = \left| -\frac{16}{3} + 12 - \frac{2}{3} + 3 \right| = \left| -\frac{18}{3} + 15 \right| = |-6 + 15| = 9$.

(3) $\int_{-2}^{2} (\frac{7108}{243}x^3 + 3x^2 - \frac{4109}{29563}x + 1) dx = \int_{-2}^{2} (\frac{7108}{243}x^3 - \frac{4109}{29563}x) dx + \int_{-2}^{2} (3x^2 + 1) dx$。

$\frac{7108}{243}x^3 - \frac{4109}{29563}x$ は奇関数なので、$\int_{-2}^{2} (\frac{7108}{243}x^3 - \frac{4109}{29563}x) dx = 0$。

$\int_{-2}^{2} (3x^2 + 1) dx = \left[ x^3 + x \right]_{-2}^{2} = (8 + 2) - (-8 - 2) = 10 - (-10) = 20$.

3. 最終的な答え

(1) $S_1 = 4\sqrt{3}$

(2) $S_2 = 9$

(3) $20$