曲線 $C: y = x^2 - 2x - 3$ 上の点 $(-1, 0)$ における接線を $l_1$、点 $(5, 12)$ における接線を $l_2$ とする。 (1) $l_1$ と $l_2$ の方程式をそれぞれ求める。 (2) $C, l_1, l_2$ で囲まれる図形の面積 $S$ を求める。

1. 問題の内容

曲線 $C: y = x^2 - 2x - 3$ 上の点 $(-1, 0)$ における接線を $l_1$、点 $(5, 12)$ における接線を $l_2$ とする。

(1) $l_1$ と $l_2$ の方程式をそれぞれ求める。

(2) $C, l_1, l_2$ で囲まれる図形の面積 $S$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) 接線 $l_1$ を求める。

$y = x^2 - 2x - 3$ を微分すると、

$y' = 2x - 2$

$x = -1$ のとき、$y' = 2(-1) - 2 = -4$

よって、$l_1$ の方程式は、$y - 0 = -4(x - (-1))$ より、

$y = -4x - 4$

従って、$l_1: y = -4x - 4$

接線 $l_2$ を求める。

$x = 5$ のとき、$y' = 2(5) - 2 = 8$

よって、$l_2$ の方程式は、$y - 12 = 8(x - 5)$ より、

$y = 8x - 40 + 12$

$y = 8x - 28$

従って、$l_2: y = 8x - 28$

(2) 曲線 $C$ と接線 $l_1, l_2$ で囲まれる図形の面積 $S$ を求める。

$l_1$ と $l_2$ の交点の $x$ 座標を求める。

$-4x - 4 = 8x - 28$

$12x = 24$

$x = 2$

このとき、$y = -4(2) - 4 = -12$

交点は $(2, -12)$

$S = \int_{-1}^{2} \{(x^2 - 2x - 3) - (-4x - 4)\} dx + \int_{2}^{5} \{(x^2 - 2x - 3) - (8x - 28)\} dx$

$S = \int_{-1}^{2} (x^2 + 2x + 1) dx + \int_{2}^{5} (x^2 - 10x + 25) dx$

$S = \int_{-1}^{2} (x+1)^2 dx + \int_{2}^{5} (x-5)^2 dx$

$S = [\frac{1}{3}(x+1)^3]_{-1}^{2} + [\frac{1}{3}(x-5)^3]_{2}^{5}$

$S = \frac{1}{3}(3^3 - 0) + \frac{1}{3}(0 - (-3)^3)$

$S = \frac{1}{3}(27) + \frac{1}{3}(27)$

$S = 9 + 9 = 18$

3. 最終的な答え

(1) $l_1: y = -4x - 4$

$l_2: y = 8x - 28$

(2) $S = 18$