$\theta$ の範囲が $0 \le \theta \le \pi$ で定義された関数 $f(\theta) = 2\sin\theta \cos^3\theta - 2\sin\theta \cos\theta - \cos^2\theta + 3$ が与えられている。$t = \sin 2\theta + \cos 2\theta$ とおく。 (1) $0 \le \theta \le \pi$ のとき，$t$ の値の範囲を求めよ。 (2) $f(\theta)$ を $t$ を用いて表せ。 (3) $f(\theta)$ の最大値、最小値と、そのときの $\theta$ の値をそれぞれ求めよ。

1. 問題の内容

$\theta$ の範囲が $0 \le \theta \le \pi$ で定義された関数 $f(\theta) = 2\sin\theta \cos^3\theta - 2\sin\theta \cos\theta - \cos^2\theta + 3$ が与えられている。$t = \sin 2\theta + \cos 2\theta$ とおく。

(1) $0 \le \theta \le \pi$ のとき，$t$ の値の範囲を求めよ。

(2) $f(\theta)$ を $t$ を用いて表せ。

(3) $f(\theta)$ の最大値、最小値と、そのときの $\theta$ の値をそれぞれ求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $t = \sin 2\theta + \cos 2\theta$ について、$0 \le \theta \le \pi$ より $0 \le 2\theta \le 2\pi$ である。

$t$ を合成すると、

$$t = \sqrt{2} \sin(2\theta + \frac{\pi}{4})$$

$2\theta$ の範囲から、$2\theta + \frac{\pi}{4}$ の範囲は $\frac{\pi}{4} \le 2\theta + \frac{\pi}{4} \le 2\pi + \frac{\pi}{4}$ となる。

この範囲で $\sin(2\theta + \frac{\pi}{4})$ の範囲を考える。

$-1 \le \sin(2\theta + \frac{\pi}{4}) \le 1$ だから、 $-\sqrt{2} \le \sqrt{2} \sin(2\theta + \frac{\pi}{4}) \le \sqrt{2}$。

$\sin(2\theta + \frac{\pi}{4}) = 1$ となるのは、$2\theta + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ より $2\theta = \frac{\pi}{4}$、つまり $\theta = \frac{\pi}{8}$ のとき。

$\sin(2\theta + \frac{\pi}{4}) = -1$ となるのは、$2\theta + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{2}$ より $2\theta = \frac{5\pi}{4}$、つまり $\theta = \frac{5\pi}{8}$ のとき。

$t$ の範囲は $-\sqrt{2} \le t \le \sqrt{2}$ である。

(2)

$f(\theta) = 2\sin\theta \cos^3\theta - 2\sin\theta \cos\theta - \cos^2\theta + 3$

$f(\theta) = 2\sin\theta \cos\theta (\cos^2\theta - 1) - \cos^2\theta + 3$

$f(\theta) = \sin 2\theta(-\sin^2\theta) - \cos^2\theta + 3$

$f(\theta) = -\sin 2\theta \sin^2\theta - \cos^2\theta + 3$

$f(\theta) = -\sin 2\theta \frac{1-\cos 2\theta}{2} - \frac{1+\cos 2\theta}{2} + 3$

$f(\theta) = -\frac{1}{2}\sin 2\theta + \frac{1}{2}\sin 2\theta \cos 2\theta - \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos 2\theta + 3$

$f(\theta) = -\frac{1}{2}\sin 2\theta + \frac{1}{4}\sin 4\theta - \frac{1}{2} \cos 2\theta + \frac{5}{2}$

$t = \sin 2\theta + \cos 2\theta$ より、 $t^2 = \sin^2 2\theta + 2\sin 2\theta \cos 2\theta + \cos^2 2\theta = 1 + 2\sin 2\theta \cos 2\theta = 1 + \sin 4\theta$。

よって $\sin 4\theta = t^2 - 1$。

$f(\theta) = -\frac{1}{2}(\sin 2\theta + \cos 2\theta) + \frac{1}{4} \sin 4\theta + \frac{5}{2}$

$f(\theta) = -\frac{1}{2} t + \frac{1}{4}(t^2 - 1) + \frac{5}{2}$

$f(\theta) = \frac{1}{4}t^2 - \frac{1}{2}t + \frac{9}{4}$

(3)

$f(\theta) = \frac{1}{4}t^2 - \frac{1}{2}t + \frac{9}{4} = \frac{1}{4}(t^2 - 2t) + \frac{9}{4} = \frac{1}{4}((t-1)^2 - 1) + \frac{9}{4} = \frac{1}{4}(t-1)^2 + 2$

$-\sqrt{2} \le t \le \sqrt{2}$ において、$t=1$ のとき最小値をとる。

$t=1$ のとき、$f(\theta) = 2$。

$\sin 2\theta + \cos 2\theta = 1$ より $\sqrt{2} \sin(2\theta + \frac{\pi}{4}) = 1$。

$\sin(2\theta + \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ より $2\theta + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$ または $2\theta + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$。

$2\theta = 0$ または $2\theta = \frac{\pi}{2}$。

$\theta = 0$ または $\theta = \frac{\pi}{4}$。

$t = -\sqrt{2}$ のとき最大値をとる。

$f(\theta) = \frac{1}{4}(-\sqrt{2}-1)^2 + 2 = \frac{1}{4}(2 + 2\sqrt{2} + 1) + 2 = \frac{3}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} + 2 = \frac{11}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin 2\theta + \cos 2\theta = -\sqrt{2}$ より $\sqrt{2} \sin(2\theta + \frac{\pi}{4}) = -\sqrt{2}$。

$\sin(2\theta + \frac{\pi}{4}) = -1$ より $2\theta + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{2}$。

$2\theta = \frac{5\pi}{4}$。

$\theta = \frac{5\pi}{8}$。

3. 最終的な答え

(1) $-\sqrt{2} \le t \le \sqrt{2}$

(2) $f(\theta) = \frac{1}{4}t^2 - \frac{1}{2}t + \frac{9}{4}$

(3) 最大値：$\frac{11}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2}$ ($\theta = \frac{5\pi}{8}$ のとき)

最小値：$2$ ($\theta = 0, \frac{\pi}{4}$ のとき)