不等式 $\cos 2\theta \ge 4\theta$ を $0 \le \theta \le 2\pi$ の範囲で解く問題です。

1. 問題の内容

不等式 $\cos 2\theta \ge 4\theta$ を $0 \le \theta \le 2\pi$ の範囲で解く問題です。

2. 解き方の手順

$\cos 2\theta$ は $-1 \le \cos 2\theta \le 1$ の範囲の値を取ります。

一方、$4\theta$ は $\theta$ が $0 \le \theta \le 2\pi$ の範囲にあるとき、$0 \le 4\theta \le 8\pi$ の範囲の値を取ります。

不等式 $\cos 2\theta \ge 4\theta$ が成立するためには、$4\theta$ が最大でも $1$ を超えてはなりません。

つまり、$4\theta \le 1$ である必要があります。

したがって、$\theta \le \frac{1}{4}$ となります。

$\theta$ が $0 \le \theta \le \frac{1}{4}$ の範囲にあるとき、$\cos 2\theta$ は $1$ から徐々に小さくなる関数であり、$4\theta$ は $0$ から徐々に大きくなる関数です。

$\theta = 0$ のとき、$\cos 2\theta = \cos 0 = 1$ であり、$4\theta = 4 \cdot 0 = 0$ です。

したがって、$\cos 2\theta \ge 4\theta$ は $\theta = 0$ で成立します。

$\theta = \frac{1}{4}$ のとき、$\cos 2\theta = \cos \frac{1}{2} \approx 0.877$ であり、$4\theta = 4 \cdot \frac{1}{4} = 1$ です。

したがって、$\cos 2\theta \ge 4\theta$ は $\theta = \frac{1}{4}$ では成立しません。

$f(\theta) = \cos 2\theta - 4\theta$ とおくと、$f'(\theta) = -2\sin 2\theta - 4$ です。

$0 \le \theta \le \frac{1}{4}$ の範囲で、$f'(\theta) < 0$ であるため、$f(\theta)$ は単調減少です。

$f(0) = \cos 0 - 0 = 1 > 0$ であり、$f(\frac{1}{4}) = \cos \frac{1}{2} - 1 < 0$ であるため、中間値の定理より、$f(\theta) = 0$ となる $\theta$ が $0 < \theta < \frac{1}{4}$ の範囲に存在します。

しかし、ここでは不等式を解く必要があるので、$f(\theta) \ge 0$ となる $\theta$ の範囲を求めます。

$4\theta > 1$ となる場合、つまり $\theta > \frac{1}{4}$ の場合、$\cos 2\theta \ge 4\theta$ が成立することはありません。

したがって、$\cos 2\theta \ge 4\theta$ が成立する範囲は $0 \le \theta \le \frac{1}{4}$ の一部です。

しかし、$4\theta$ が負になることはないため、$\cos 2\theta$ が負になる範囲を考える必要はありません。$\cos 2\theta$ は $2\theta = \frac{\pi}{2}$ で $0$ になります。

したがって、$\theta \le \frac{\pi}{4} \approx 0.785$ である必要があります。

この条件は $\theta \le \frac{1}{4}$ を満たしています。

$\theta = 0$ の近傍では $\cos 2\theta \approx 1 - 2\theta^2$ と近似できるため、$1 - 2\theta^2 \ge 4\theta$ となります。

$2\theta^2 + 4\theta - 1 \le 0$ を解くと、$\theta = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 8}}{4} = \frac{-4 \pm \sqrt{24}}{4} = -1 \pm \frac{\sqrt{6}}{2}$ となります。

したがって、$-1 - \frac{\sqrt{6}}{2} \le \theta \le -1 + \frac{\sqrt{6}}{2}$ となります。

$\theta \ge 0$ である必要があるため、$0 \le \theta \le -1 + \frac{\sqrt{6}}{2} \approx 0.2247$ となります。

3. 最終的な答え

$0 \le \theta \le 0$

または$\theta = 0$