関数 $f(x) = e^{-\frac{x}{3}}$ について、剰余項を含んだマクローリン展開の式 $f(x) = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{f^{(k)}(0)}{k!} x^k + \frac{f^{(n)}(\theta x)}{n!} x^n$ を用いて、$x$ の3次の項までマクローリン展開を求めます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = e^{-\frac{x}{3}}$ について、剰余項を含んだマクローリン展開の式

$f(x) = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{f^{(k)}(0)}{k!} x^k + \frac{f^{(n)}(\theta x)}{n!} x^n$

を用いて、$x$ の3次の項までマクローリン展開を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ の導関数を3次まで計算します。

$f(x) = e^{-\frac{x}{3}}$

$f'(x) = -\frac{1}{3} e^{-\frac{x}{3}}$

$f''(x) = \frac{1}{9} e^{-\frac{x}{3}}$

$f'''(x) = -\frac{1}{27} e^{-\frac{x}{3}}$

次に、$f(0)$, $f'(0)$, $f''(0)$, $f'''(0)$ を計算します。

$f(0) = e^0 = 1$

$f'(0) = -\frac{1}{3} e^0 = -\frac{1}{3}$

$f''(0) = \frac{1}{9} e^0 = \frac{1}{9}$

$f'''(0) = -\frac{1}{27} e^0 = -\frac{1}{27}$

マクローリン展開の公式に代入して、$x$ の3次の項までを求めます。

$f(x) \approx f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3$

$f(x) \approx 1 - \frac{1}{3}x + \frac{1}{18}x^2 - \frac{1}{162}x^3$

3. 最終的な答え

$f'(x) = -\frac{1}{3} e^{-\frac{x}{3}}$

$f''(x) = \frac{1}{9} e^{-\frac{x}{3}}$

$f'''(x) = -\frac{1}{27} e^{-\frac{x}{3}}$

$f(0) = 1$

$f'(0) = -\frac{1}{3}$

$f''(0) = \frac{1}{9}$

$f'''(0) = -\frac{1}{27}$

$f(x) \approx 1 - \frac{1}{3}x + \frac{1}{18}x^2 - \frac{1}{162}x^3$