与えられた関数の指定された範囲における平均変化率を求める問題です。具体的には、以下の4つの関数について、指定された範囲での平均変化率を計算します。 (1) $f(x) = -5x + 6$ ($-1 \leq x \leq 3$) (2) $f(x) = -x^2 + x - 1$ ($-4 \leq x \leq -2$) (3) $f(x) = -x^3 + x^2$ ($2 \leq x \leq 3$) (4) $f(x) = 2x^2 + x - 1$ ($a \leq x \leq a+2$) 平均変化率は、定義より $\frac{f(b) - f(a)}{b-a}$または$\frac{f(a)-f(b)}{a-b}$で計算できます。

1. 問題の内容

与えられた関数の指定された範囲における平均変化率を求める問題です。具体的には、以下の4つの関数について、指定された範囲での平均変化率を計算します。

(1) $f(x) = -5x + 6$ ($-1 \leq x \leq 3$)

(2) $f(x) = -x^2 + x - 1$ ($-4 \leq x \leq -2$)

(3) $f(x) = -x^3 + x^2$ ($2 \leq x \leq 3$)

(4) $f(x) = 2x^2 + x - 1$ ($a \leq x \leq a+2$)

平均変化率は、定義より $\frac{f(b) - f(a)}{b-a}$または$\frac{f(a)-f(b)}{a-b}$で計算できます。

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = -5x + 6$ ($-1 \leq x \leq 3$)の場合

$a = -1$, $b = 3$とすると、

$f(a) = f(-1) = -5(-1) + 6 = 5 + 6 = 11$

$f(b) = f(3) = -5(3) + 6 = -15 + 6 = -9$

平均変化率 = $\frac{f(3) - f(-1)}{3 - (-1)} = \frac{-9 - 11}{3 + 1} = \frac{-20}{4} = -5$

(2) $f(x) = -x^2 + x - 1$ ($-4 \leq x \leq -2$)の場合

$a = -4$, $b = -2$とすると、

$f(a) = f(-4) = -(-4)^2 + (-4) - 1 = -16 - 4 - 1 = -21$

$f(b) = f(-2) = -(-2)^2 + (-2) - 1 = -4 - 2 - 1 = -7$

平均変化率 = $\frac{f(-2) - f(-4)}{-2 - (-4)} = \frac{-7 - (-21)}{-2 + 4} = \frac{-7 + 21}{2} = \frac{14}{2} = 7$

(3) $f(x) = -x^3 + x^2$ ($2 \leq x \leq 3$)の場合

$a = 2$, $b = 3$とすると、

$f(a) = f(2) = -(2)^3 + (2)^2 = -8 + 4 = -4$

$f(b) = f(3) = -(3)^3 + (3)^2 = -27 + 9 = -18$

平均変化率 = $\frac{f(3) - f(2)}{3 - 2} = \frac{-18 - (-4)}{3 - 2} = \frac{-18 + 4}{1} = \frac{-14}{1} = -14$

(4) $f(x) = 2x^2 + x - 1$ ($a \leq x \leq a+2$)の場合

範囲が $a$ から $a+2$ なので、$b = a+2$とすると、

$f(a) = 2a^2 + a - 1$

$f(b) = f(a+2) = 2(a+2)^2 + (a+2) - 1 = 2(a^2 + 4a + 4) + a + 2 - 1 = 2a^2 + 8a + 8 + a + 1 = 2a^2 + 9a + 9$

平均変化率 = $\frac{f(a+2) - f(a)}{(a+2) - a} = \frac{(2a^2 + 9a + 9) - (2a^2 + a - 1)}{2} = \frac{2a^2 + 9a + 9 - 2a^2 - a + 1}{2} = \frac{8a + 10}{2} = 4a + 5$

3. 最終的な答え

(1) -5

(2) 7

(3) -14

(4) $4a + 5$