整数 $n$ について、$n^2$ が3の倍数ならば、$n$ は3の倍数であることを、背理法を用いて証明する。

1. 問題の内容

整数 $n$ について、$n^2$ が3の倍数ならば、$n$ は3の倍数であることを、背理法を用いて証明する。

2. 解き方の手順

背理法を用いるので、$n$ が3の倍数でないと仮定して矛盾を導く。

$n$ が3の倍数でないと仮定すると、$n$ はある整数 $k$ を用いて、$n = 3k+1$ または $n = 3k+2$ と表せる。

(i) $n = 3k+1$ のとき、

$n^2 = (3k+1)^2 = 9k^2 + 6k + 1 = 3(3k^2 + 2k) + 1$

$3k^2 + 2k$ は整数なので、$n^2$ は3で割ると1余る。つまり、$n^2$ は3の倍数ではない。

(ii) $n = 3k+2$ のとき、

$n^2 = (3k+2)^2 = 9k^2 + 12k + 4 = 9k^2 + 12k + 3 + 1 = 3(3k^2 + 4k + 1) + 1$

$3k^2 + 4k + 1$ は整数なので、$n^2$ は3で割ると1余る。つまり、$n^2$ は3の倍数ではない。

いずれの場合も、$n^2$ が3の倍数であるという仮定に矛盾する。

したがって、$n$ が3の倍数でないという仮定が誤りであり、$n$ は3の倍数である。

3. 最終的な答え

$n^2$ が3の倍数ならば、$n$ は3の倍数である。