3桁の自然数について、百の位と一の位の数字を入れ替えた数との差がどのような数になるかを予想し、説明する問題です。

1. 問題の内容

3桁の自然数について、百の位と一の位の数字を入れ替えた数との差がどのような数になるかを予想し、説明する問題です。

2. 解き方の手順

まず、具体例から規則性を見つけます。

* $321 - 123 = 198$

* $734 - 437 = 297$

これらの結果から、差は必ず99の倍数になるのではないかと予想できます。

次に、この予想を一般的に証明します。

3桁の自然数を $100a + 10b + c$ と表します。ここで、$a$ は百の位、$b$ は十の位、$c$ は一の位の数字です。百の位と一の位の数字を入れ替えた数は $100c + 10b + a$ となります。これらの差を計算します。

$$(100a + 10b + c) - (100c + 10b + a) = 100a + 10b + c - 100c - 10b - a$$

$$= 99a - 99c = 99(a-c)$$

この式から、差は $99(a-c)$ となり、99の倍数であることがわかります。

ここで$a$と$c$は数字なので、その差も整数になります。したがって、$99(a-c)$は99の倍数です。

3. 最終的な答え

3桁の自然数と、その百の位の数と一の位の数を入れ替えてできる数の差は、99の倍数になる。