4つの異なる文字a, b, c, dから異なる3つの文字を選んで組を作るとき、組み合わせの総数 ${}_4C_3$ を求める問題です。その計算が ${}_4C_3 = \frac{{}_4P_3}{3!} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 4$ となることと、特に ${}_4C_3 = \frac{{}_4P_3}{3!}$ となる理由を説明することが求められています。

1. 問題の内容

4つの異なる文字a, b, c, dから異なる3つの文字を選んで組を作るとき、組み合わせの総数 ${}_4C_3$ を求める問題です。その計算が ${}_4C_3 = \frac{{}_4P_3}{3!} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 4$ となることと、特に ${}_4C_3 = \frac{{}_4P_3}{3!}$ となる理由を説明することが求められています。

2. 解き方の手順

まず、順列 ${}_4P_3$ の意味を確認します。これは4つの異なる文字から3つを選び、選んだ順番も考慮して並べる場合の数です。つまり、例えば「abc」と「acb」は異なる並び方として数えられます。

次に、組み合わせ ${}_4C_3$ の意味を確認します。これは4つの異なる文字から3つを選ぶ場合の数であり、選んだ順番は考慮しません。つまり、「abc」と「acb」は同じ組として数えられます。

${}_4P_3$ を ${}_4C_3$ に変換するためには、順番を考慮している分を調整する必要があります。3つの文字を選んだとき、それらの並べ方は3!通りあります。例えば、a, b, cを選んだとき、abc, acb, bac, bca, cab, cbaの6 (=3!)通りの並べ方があります。順列ではこれらのすべてが異なるものとして数えられていますが、組み合わせでは同じものとして数えます。

したがって、${}_4P_3$ を3!で割ることで、順番の違いをなくし、組み合わせの総数 ${}_4C_3$ を求めることができます。

数式で表すと次のようになります。

${}_4P_3 = 4 \times 3 \times 2 = 24$

$3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$

${}_4C_3 = \frac{{}_4P_3}{3!} = \frac{24}{6} = 4$

したがって、${}_4C_3 = \frac{{}_4P_3}{3!}$となります。

3. 最終的な答え

${}_4C_3 = 4$

${}_4C_3 = \frac{{}_4P_3}{3!}$ となる理由は、順列では選んだものの順番を考慮するのに対し、組み合わせでは順番を考慮しないため、順列を3つの要素の並び方である3!で割ることで、重複している分を解消し、組み合わせの総数を求めることができるからです。