問題は、0, 1, 2, 3, 4, 5 の6個の数字を使って、同じ数字を2度以上使わないという条件のもとで、以下の問いに答えるものです。 (1) 6桁の整数は何個作れるか。 (2) 6桁の整数のうち、5の倍数は何個作れるか。

1. 問題の内容

問題は、0, 1, 2, 3, 4, 5 の6個の数字を使って、同じ数字を2度以上使わないという条件のもとで、以下の問いに答えるものです。

(1) 6桁の整数は何個作れるか。

(2) 6桁の整数のうち、5の倍数は何個作れるか。

2. 解き方の手順

(1) 6桁の整数の個数

6桁の整数を作る場合、先頭の桁は0以外の数字である必要があります。

* 先頭の桁に使える数字は1, 2, 3, 4, 5の5個です。

* 残りの5桁には、残りの5個の数字を自由に並べることができます。これは5!通りです。

したがって、6桁の整数は $5 \times 5!$ 個作れます。

$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$ なので、$5 \times 5! = 5 \times 120 = 600$ 個となります。

(2) 6桁の整数のうち、5の倍数の個数

6桁の整数が5の倍数であるためには、末尾の桁が0か5である必要があります。

(a) 末尾の桁が0の場合：

* 末尾の桁が0で固定されているので、残りの5桁には、1, 2, 3, 4, 5の5個の数字を自由に並べることができます。これは5!通りです。

したがって、この場合は $5! = 120$ 個作れます。

(b) 末尾の桁が5の場合：

* 末尾の桁が5で固定されているので、先頭の桁には0以外の数字を入れる必要があります。

* 先頭の桁に使える数字は1, 2, 3, 4の4個です。

* 残りの4桁には、残った4個の数字を自由に並べることができます。これは4!通りです。

したがって、この場合は $4 \times 4!$ 個作れます。

$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ なので、$4 \times 4! = 4 \times 24 = 96$ 個となります。

したがって、6桁の整数のうち、5の倍数は $120 + 96 = 216$ 個作れます。

3. 最終的な答え

(1) 6桁の整数は600個作れる。

(2) 6桁の整数のうち、5の倍数は216個作れる。