540を素因数分解し、その結果を用いて540の正の約数の個数とその和を求め、さらに540以下の自然数のうち、2でも3でも割り切れないものの個数を求めます。

1. 問題の内容

540を素因数分解し、その結果を用いて540の正の約数の個数とその和を求め、さらに540以下の自然数のうち、2でも3でも割り切れないものの個数を求めます。

2. 解き方の手順

まず540を素因数分解します。

$540 = 2 \times 270 = 2^2 \times 135 = 2^2 \times 3 \times 45 = 2^2 \times 3^2 \times 15 = 2^2 \times 3^3 \times 5$

したがって、$540 = 2^2 \times 3^3 \times 5^1$ です。

次に、540の正の約数の個数を求めます。約数の個数は、各素因数の指数に1を加えて掛け合わせたものです。

$(2+1) \times (3+1) \times (1+1) = 3 \times 4 \times 2 = 24$ 個

したがって、540の正の約数は24個です。

次に、540の正の約数の和を求めます。約数の和は、各素因数の指数に関する等比数列の和の積で表されます。

$(1+2+2^2) \times (1+3+3^2+3^3) \times (1+5) = (1+2+4) \times (1+3+9+27) \times (6) = 7 \times 40 \times 6 = 7 \times 240 = 1680$

したがって、540の正の約数の和は1680です。

最後に、540以下の自然数のうち、2でも3でも割り切れないものの個数を求めます。

540以下の自然数で2の倍数は、 $540/2 = 270$ 個。

540以下の自然数で3の倍数は、 $540/3 = 180$ 個。

540以下の自然数で6の倍数は、 $540/6 = 90$ 個。

2または3で割り切れる数は、 $270 + 180 - 90 = 360$ 個。

2でも3でも割り切れない数は、 $540 - 360 = 180$ 個。

3. 最終的な答え

540を素因数分解すると、$2^2 \times 3^3 \times 5$ です。

540の正の約数は24個あり、それらの和は1680です。

540以下の自然数のうち、2でも3でも割り切れないものは180個あります。