5個の数字0, 1, 2, 3, 4を使って作れる3桁の整数について、以下の問いに答える。ただし、同じ数字は2度以上使わないとする。 (1) 偶数は何個あるか。 (2) 3の倍数は何個あるか。

1. 問題の内容

5個の数字0, 1, 2, 3, 4を使って作れる3桁の整数について、以下の問いに答える。ただし、同じ数字は2度以上使わないとする。

(1) 偶数は何個あるか。

(2) 3の倍数は何個あるか。

2. 解き方の手順

(1) 偶数の場合

3桁の整数が偶数であるためには、一の位が0, 2, 4のいずれかである必要がある。

- 一の位が0の場合：

百の位は0以外の4通り、十の位は残りの3通り。よって $4 \times 3 = 12$ 通り。

- 一の位が2または4の場合：

百の位は0以外の3通り（0, 2 or 4と一の位に使った数字を除く）。十の位は残りの3通り（百の位と一の位に使った数字を除く）。一の位は2通り。よって $3 \times 3 \times 2 = 18$ 通り。

したがって、偶数の個数は $12 + 18 = 30$ 個。

(2) 3の倍数の場合

3桁の整数が3の倍数であるためには、各桁の数字の和が3の倍数である必要がある。

使用できる数字は0, 1, 2, 3, 4である。

3つの数字の和が3の倍数になる組み合わせを考える。

- {0, 1, 2}：3! = 6通り。ただし、百の位が0になる場合を除くので、$6-2!=4$通り

- {0, 2, 4}：3! = 6通り。ただし、百の位が0になる場合を除くので、$6-2!=4$通り

- {1, 2, 3}：3! = 6通り

- {2, 3, 4}：3! = 6通り

- {0, 3}を含む場合

{0, 3, x}　(x=0, 3を除く): x= 3, 6, 9,...から x =0, 3, 6, 9,...となる。

-> {0, 3}を含む和が3の倍数になる組み合わせ: {0,3,0}{0,3,3}{0,3,6}{1,2,3}{4,2,3} -> {0,3} とその他の数を組み合わせることになる。考えられるのは、数字の和が3の倍数になる次の組み合わせ: {0,1,2} {0,2,4}{1,2,3}{2,3,4}。

和が6になる組み合わせ{0,1,2} (0+1+2 = 3の倍数)

{1,2,3} (1+2+3 = 6の倍数)

{2,3,4} (2+3+4=9の倍数)

{0,2,4} (0+2+4=6の倍数)

各組み合わせについて、3桁の整数が何通りできるか計算する。

{0, 1, 2} -> 4個

{0, 2, 4} -> 4個

{1, 2, 3} -> 6個

{2, 3, 4} -> 6個

合計は $4 + 4 + 6 + 6 = 20$個。

3. 最終的な答え

(1) 偶数：30個

(2) 3の倍数：20個