6個の数字 1, 2, 3, 4, 5, 6 から異なる4個の数字を使って4桁の整数を作るとき、以下の問いに答えます。 (1) 4300 より大きい整数は何個あるか。 (2) 5000 より大きい偶数 は何個あるか。

1. 問題の内容

6個の数字 1, 2, 3, 4, 5, 6 から異なる4個の数字を使って4桁の整数を作るとき、以下の問いに答えます。

(1) 4300 より大きい整数は何個あるか。

(2) 5000 より大きい偶数 は何個あるか。

2. 解き方の手順

(1) 4300より大きい整数

4桁の整数をabcdと表します。

a = 4 のとき、bcdは300より大きい必要があります。

a = 4, b = 3 のとき、cは4, 5, 6のいずれか。

c=4のときdの選び方は4通り、c=5のときdの選び方は4通り、c=6のときdの選び方は4通り。

a = 4, b = 3のとき、 $3 \times 4 = 12$ 通り

a = 4, b > 3 つまり b = 5, 6 のとき、cdの選び方は $_4P_2 = 4 \times 3 = 12$

a = 4, b = 5, 6 のとき、 $2 \times 12 = 24$ 通り

a > 4 つまり a = 5, 6 のとき、bcdの選び方は $_5P_3 = 5 \times 4 \times 3 = 60$

a = 5, 6 のとき、 $2 \times 60 = 120$ 通り

したがって、4300より大きい整数は、$12 + 24 + 120 = 156$ 個。

(2) 5000より大きい偶数

a = 5, 6 のとき。

a = 5のとき、d=2, 4, 6

a = 5, d = 2のとき、bcの選び方は $_4P_2 = 4 \times 3 = 12$ 通り

a = 5, d = 4のとき、bcの選び方は $_4P_2 = 4 \times 3 = 12$ 通り

a = 5, d = 6のとき、bcの選び方は $_4P_2 = 4 \times 3 = 12$ 通り

したがってa = 5のとき、 $3 \times 12 = 36$ 通り

a = 6のとき、d=2, 4

a = 6, d = 2のとき、bcの選び方は $_4P_2 = 4 \times 3 = 12$ 通り

a = 6, d = 4のとき、bcの選び方は $_4P_2 = 4 \times 3 = 12$ 通り

したがってa = 6のとき、 $2 \times 12 = 24$ 通り

5000より大きい偶数は $36 + 24 = 60$ 個。

3. 最終的な答え

(1) 4300より大きい整数: 156個

(2) 5000より大きい偶数: 60個