与えられた割り算の問題、余りの計算の問題、一次合同式の問題を解きます。

以下に、問題の解答を示します。

1. 問題の内容

与えられた割り算の問題、余りの計算の問題、一次合同式の問題を解きます。

2. 解き方の手順

問題1: 216 ÷ 11

$216 = 11 \times 19 + 7$

問題2: -159 ÷ 13

$-159 = 13 \times (-13) + 10$

問題3: 12の100乗を11で割った余りを求める。

$12 \equiv 1 \pmod{11}$

$12^{100} \equiv 1^{100} \pmod{11}$

$12^{100} \equiv 1 \pmod{11}$

問題4: 5の100乗と3の100乗の和を8で割った余りを求める。

$5^2 = 25 \equiv 1 \pmod{8}$

$5^{100} = (5^2)^{50} \equiv 1^{50} \equiv 1 \pmod{8}$

$3^2 = 9 \equiv 1 \pmod{8}$

$3^{100} = (3^2)^{50} \equiv 1^{50} \equiv 1 \pmod{8}$

$5^{100} + 3^{100} \equiv 1 + 1 \equiv 2 \pmod{8}$

問題5: 3の200乗と2の100乗の和を7で割った余りを求める。

$3^2 = 9 \equiv 2 \pmod{7}$

$3^3 = 27 \equiv 6 \pmod{7} \equiv -1 \pmod{7}$

$3^6 = (3^3)^2 = (-1)^2 \equiv 1 \pmod{7}$

$3^{200} = (3^6)^{33} \cdot 3^2 = 1^{33} \cdot 3^2 \equiv 1 \cdot 2 = 2 \pmod{7}$

$2^3 = 8 \equiv 1 \pmod{7}$

$2^{100} = (2^3)^{33} \cdot 2^1 = 1^{33} \cdot 2 \equiv 1 \cdot 2 = 2 \pmod{7}$

$3^{200} + 2^{100} \equiv 2 + 2 = 4 \pmod{7}$

問題6: 6x ≡ 5 (mod 7)

$-x \equiv 5 \pmod{7}$

$x \equiv -5 \equiv 2 \pmod{7}$

問題7: 9x ≡ 7 (mod 13)

$9x \equiv 7 \pmod{13}$

$3 \times 9x \equiv 3 \times 7 \pmod{13}$

$27x \equiv 21 \pmod{13}$

$x \equiv 8 \pmod{13}$

問題8: 5x ≡ 8 (mod 11)

$5x \equiv 8 \pmod{11}$

$9 \times 5x \equiv 9 \times 8 \pmod{11}$

$45x \equiv 72 \pmod{11}$

$x \equiv 6 \pmod{11}$

3. 最終的な答え

1. $216 = 11 \times 19 + 7$

2. $-159 = 13 \times (-13) + 10$

3. 1

4. 2

5. 4

6. $x \equiv 2 \pmod{7}$

7. $x \equiv 8 \pmod{13}$

8. $x \equiv 6 \pmod{11}$