$63 \times (3n + 19)$ がある整数の平方数となるとき、最も小さい自然数 $n$ を求める。

1. 問題の内容

$63 \times (3n + 19)$ がある整数の平方数となるとき、最も小さい自然数 $n$ を求める。

2. 解き方の手順

$63 \times (3n + 19)$ がある整数の平方数になるということは、ある整数 $m$ が存在して、

$$63 \times (3n + 19) = m^2$$

と表せるということである。

$63 = 9 \times 7 = 3^2 \times 7$ なので、

$$3^2 \times 7 \times (3n + 19) = m^2$$

ここで、$3n + 19$ が $7$ の倍数になる必要がある。なぜなら、左辺が平方数になるためには、$7$ の指数が偶数でなければならないからである。したがって、$3n + 19$ は少なくとも $7$ を因数に持つ必要がある。

$3n + 19 = 7k$ （$k$ は整数）とおくと、

$$3^2 \times 7 \times 7k = m^2$$

$$3^2 \times 7^2 \times k = m^2$$

このとき、$k$ も平方数であれば、$m$ も整数となる。したがって、$k = l^2$ （$l$ は整数）とおける。

$$3n + 19 = 7l^2$$

$$3n = 7l^2 - 19$$

$$n = \frac{7l^2 - 19}{3}$$

$n$ が自然数となるためには、$7l^2 - 19$ が $3$ の倍数でなければならない。

つまり、$7l^2 - 19 \equiv 0 \pmod{3}$ となる必要がある。

$7l^2 - 19 \equiv l^2 - 1 \equiv 0 \pmod{3}$

$l^2 \equiv 1 \pmod{3}$

$l \equiv 1 \pmod{3}$ または $l \equiv 2 \pmod{3}$

$l$ に小さい自然数を代入して、$n$ が自然数になるものを探す。

- $l = 1$ のとき、 $n = \frac{7 - 19}{3} = -4$ (不適)

- $l = 2$ のとき、 $n = \frac{7(4) - 19}{3} = \frac{28 - 19}{3} = \frac{9}{3} = 3$

したがって、最小の自然数 $n$ は $3$ である。

3. 最終的な答え

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