5で割ると2余り、7で割ると4余る自然数のうち、100に最も近い自然数を求める。

1. 問題の内容

5で割ると2余り、7で割ると4余る自然数のうち、100に最も近い自然数を求める。

2. 解き方の手順

求める自然数を$n$とする。問題文より、以下の2つの条件が成り立つ。

* $n$は5で割ると2余る: $n \equiv 2 \pmod{5}$

* $n$は7で割ると4余る: $n \equiv 4 \pmod{7}$

1つ目の条件より、$n = 5k + 2$ （$k$は整数）と表せる。これを2つ目の条件に代入すると、

$5k + 2 \equiv 4 \pmod{7}$

$5k \equiv 2 \pmod{7}$

両辺に3をかけると（$5 \times 3 = 15 \equiv 1 \pmod{7}$を利用）、

$15k \equiv 6 \pmod{7}$

$k \equiv 6 \pmod{7}$

したがって、$k = 7m + 6$ （$m$は整数）と表せる。

これを$n = 5k + 2$に代入すると、

$n = 5(7m + 6) + 2 = 35m + 30 + 2 = 35m + 32$

$n = 35m + 32$が100に最も近いものを探す。

$m = 0$のとき、$n = 32$

$m = 1$のとき、$n = 67$

$m = 2$のとき、$n = 102$

$m = 3$のとき、$n = 137$

$|100 - 67| = 33$

$|100 - 102| = 2$

したがって、100に最も近い自然数は102である。

3. 最終的な答え

102