$\sqrt{60n}$ が整数となるような自然数 $n$ のうち、最も小さいものを求めよ。

1. 問題の内容

$\sqrt{60n}$ が整数となるような自然数 $n$ のうち、最も小さいものを求めよ。

2. 解き方の手順

$\sqrt{60n}$ が整数となるためには、$60n$ がある整数の2乗となる必要がある。

$60$ を素因数分解すると、

$$60 = 2^2 \times 3 \times 5$$

したがって、$60n$ がある整数の2乗になるためには、$n$ は $3 \times 5$ を少なくとも因数に持つ必要がある。

$n = 3 \times 5 = 15$ のとき、

$$60n = 2^2 \times 3 \times 5 \times 3 \times 5 = 2^2 \times 3^2 \times 5^2 = (2 \times 3 \times 5)^2 = 30^2$$

となり、$\sqrt{60n} = \sqrt{30^2} = 30$ で整数となる。

したがって、$n=15$ は $\sqrt{60n}$ を整数とする最小の自然数である。

3. 最終的な答え

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