(1) $x, y$ は実数とする。次の命題の逆と対偶を述べ、それらの真偽を調べよ。 「$x-y, xy$ の少なくとも一方が無理数ならば、$x, y$ の少なくとも一方は無理数である」 (2) $n$ は整数とする。対偶を考えて、次の命題を証明せよ。 「$3n$ が偶数ならば、$n$ は偶数である」

1. 問題の内容

(1) $x, y$ は実数とする。次の命題の逆と対偶を述べ、それらの真偽を調べよ。

「$x-y, xy$ の少なくとも一方が無理数ならば、$x, y$ の少なくとも一方は無理数である」

(2) $n$ は整数とする。対偶を考えて、次の命題を証明せよ。

「$3n$ が偶数ならば、$n$ は偶数である」

2. 解き方の手順

(1)

元の命題：「$x-y, xy$ の少なくとも一方が無理数ならば、$x, y$ の少なくとも一方は無理数である」

**逆**：

「$x, y$ の少なくとも一方が無理数ならば、$x-y, xy$ の少なくとも一方が無理数である」

反例：$x = \sqrt{2}, y = \sqrt{2}$ のとき、$x$ と $y$ はともに無理数だが、$x-y = 0$ は有理数、$xy = 2$ は有理数なので、$x-y$ と $xy$ はともに有理数となり、少なくとも一方が無理数であるという条件を満たさない。したがって、この逆は偽である。

**対偶**：

「$x, y$ がともに有理数ならば、$x-y, xy$ はともに有理数である」

$x$ と $y$ がともに有理数であるとき、$x-y$ は有理数である。なぜならば、有理数同士の差は有理数だからである。

同様に、$xy$ は有理数である。なぜならば、有理数同士の積は有理数だからである。

したがって、$x-y$ と $xy$ はともに有理数である。

よって、対偶は真である。

(2)

元の命題：「$3n$ が偶数ならば、$n$ は偶数である」

この命題の対偶は、

「$n$ が奇数ならば、$3n$ は奇数である」

$n$ が奇数のとき、$n = 2k+1$ と表せる。（$k$ は整数）

このとき、$3n = 3(2k+1) = 6k+3 = 2(3k+1)+1$ となる。

$3k+1$ は整数なので、$3n$ は奇数である。

したがって、対偶は真である。

対偶が真なので、元の命題も真である。

3. 最終的な答え

(1)

逆：「$x, y$ の少なくとも一方が無理数ならば、$x-y, xy$ の少なくとも一方が無理数である」偽。

対偶：「$x, y$ がともに有理数ならば、$x-y, xy$ はともに有理数である」真。

(2)

対偶：「$n$ が奇数ならば、$3n$ は奇数である」

証明：$n$ が奇数のとき、$n = 2k+1$ と表せる。（$k$ は整数）

このとき、$3n = 3(2k+1) = 6k+3 = 2(3k+1)+1$ となる。

$3k+1$ は整数なので、$3n$ は奇数である。

したがって、$3n$ が偶数ならば、$n$ は偶数である。