$15(x+2) + 4(y-4) = 0$ の整数解を全て求める。$x$ と $y$ は整数、$k$ も整数とする。 $x = a k + b$ $y = c k + d$ の $a, b, c, d$ を求める。

## 問題１

1. 問題の内容

$15(x+2) + 4(y-4) = 0$ の整数解を全て求める。$x$ と $y$ は整数、$k$ も整数とする。

$x = a k + b$

$y = c k + d$

の $a, b, c, d$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた方程式を展開します。

$15x + 30 + 4y - 16 = 0$

$15x + 4y + 14 = 0$

$4y = -15x - 14$

$y = -\frac{15}{4}x - \frac{14}{4} = -\frac{15}{4}x - \frac{7}{2}$

これは整数解を持たないので、別の方法で解きます。

$15(x+2) = -4(y-4)$

$15(x+2)$ は4の倍数である必要があります。15と4は互いに素なので、$x+2$ が4の倍数である必要があります。

よって、$x+2 = 4k$ ($k$ は整数) とおけます。

$x = 4k - 2$

これを元の式に代入します。

$15(4k) + 4(y-4) = 0$

$60k + 4(y-4) = 0$

$15k + y - 4 = 0$

$y = -15k + 4$

したがって、

$x = 4k - 2$

$y = -15k + 4$

3. 最終的な答え

x = 4k - 2

y = -15k + 4

## 問題２

1. 問題の内容

6で割ると2余り、13で割ると5余る300以下の自然数は全部で何個あるか。

2. 解き方の手順

求める自然数を $n$ とすると、

$n = 6a + 2$ （$a$ は整数）

$n = 13b + 5$ （$b$ は整数）

とおける。

$6a + 2 = 13b + 5$

$6a = 13b + 3$

$6a = 6(2b) + b + 3$

$6a - 6(2b) = b+3$

$6(a-2b) = b+3$

$b+3$ は6の倍数なので、$b+3 = 6k$ （$k$ は整数）とおける。

$b = 6k - 3$

これを $n = 13b + 5$ に代入する。

$n = 13(6k - 3) + 5 = 78k - 39 + 5 = 78k - 34$

$n$ は300以下の自然数なので、

$78k - 34 \leq 300$

$78k \leq 334$

$k \leq \frac{334}{78} \approx 4.28$

$k$ は整数なので、$k = 1, 2, 3, 4$

$k=1$ のとき $n = 78 - 34 = 44$

$k=2$ のとき $n = 156 - 34 = 122$

$k=3$ のとき $n = 234 - 34 = 200$

$k=4$ のとき $n = 312 - 34 = 278$

$k=0$ のとき $n = -34$ なので不適

3. 最終的な答え

4 個