7で割ると4余り、9で割ると8余る300以下の自然数は全部で何個あるか。

1. 問題の内容

7で割ると4余り、9で割ると8余る300以下の自然数は全部で何個あるか。

2. 解き方の手順

求める自然数を $x$ とすると、以下の合同式が成り立つ。

$x \equiv 4 \pmod{7}$

$x \equiv 8 \pmod{9}$

まず、$x \equiv 4 \pmod{7}$ を満たす $x$ は $x = 7k + 4$ （$k$は整数）と表せる。

これを $x \equiv 8 \pmod{9}$ に代入すると、

$7k + 4 \equiv 8 \pmod{9}$

$7k \equiv 4 \pmod{9}$

ここで、$7k \equiv 4 \pmod{9}$ を満たす $k$ を求める。

$7k \equiv 4 \pmod{9}$ の両辺に4をかけると、

$28k \equiv 16 \pmod{9}$

$k \equiv 7 \pmod{9}$

したがって、$k = 9l + 7$ （$l$は整数）と表せる。

$x = 7k + 4$ に代入すると、

$x = 7(9l + 7) + 4 = 63l + 49 + 4 = 63l + 53$

$x$ は300以下の自然数なので、

$63l + 53 \le 300$

$63l \le 247$

$l \le \frac{247}{63} \approx 3.92$

$l$は整数なので、$l = 0, 1, 2, 3$ である。

したがって、$x$ は $l = 0, 1, 2, 3$ に対応して、

$x = 53, 116, 179, 242$

の4つの値を取る。

3. 最終的な答え

4個