6で割ると2余り、13で割ると5余る300以下の自然数の個数を求める。

1. 問題の内容

6で割ると2余り、13で割ると5余る300以下の自然数の個数を求める。

2. 解き方の手順

求める自然数を $n$ とすると、

$n = 6k + 2$ (kは整数)

$n = 13l + 5$ (lは整数)

と表せる。

これより、

$6k + 2 = 13l + 5$

$6k = 13l + 3$

$2k = \frac{13l + 3}{3}$

$6k - 13l = 3$

ここで、$l = 3$ を代入すると、

$6k - 13 \times 3 = 3$

$6k = 42$

$k = 7$

よって、$n = 6 \times 7 + 2 = 44$ は条件を満たす。

$6k - 13l = 3$ の特殊解は $(k, l) = (7, 3)$ である。

$6k - 13l = 3$ の一般解を求める。

$6 \times 7 - 13 \times 3 = 3$

$6k - 13l = 3$

両辺を引き算して

$6(k - 7) - 13(l - 3) = 0$

$6(k - 7) = 13(l - 3)$

6と13は互いに素なので、$k - 7 = 13t$、$l - 3 = 6t$ (tは整数) と表せる。

$k = 13t + 7$

$l = 6t + 3$

$n = 6k + 2 = 6(13t + 7) + 2 = 78t + 42 + 2 = 78t + 44$

$n = 13l + 5 = 13(6t + 3) + 5 = 78t + 39 + 5 = 78t + 44$

したがって、$n = 78t + 44$

$n \le 300$ より、

$78t + 44 \le 300$

$78t \le 256$

$t \le \frac{256}{78} = 3.282...$

tは整数なので、$t = 0, 1, 2, 3$

$t = 0$ のとき $n = 44$

$t = 1$ のとき $n = 78 + 44 = 122$

$t = 2$ のとき $n = 156 + 44 = 200$

$t = 3$ のとき $n = 234 + 44 = 278$

したがって、求める自然数は44, 122, 200, 278 の4個である。

3. 最終的な答え

4個